Chapitre 01 — Rappels et compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices. Familles dénombrables de vecteurs, produit et somme d’espaces vectoriels, projecteurs et symétries, matrices par blocs, sous-espaces stables, trace, polynômes de matrice.
Chapitre 02 — Déterminants. Déterminants d’une matrice carrée, déterminants d’une famille de vecteurs, déterminant d’un endomorphisme, opérations élémentaires, développement de Laplace, formules de Cramer.
Chapitre 03 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. Éléments propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, endomorphismes et matrices trigonalisables, application de la réduction.
Chapitre 04 — Fonctions vectorielles d’une variable réelle, arcs paramétrés. Dérivation d’une fonction à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\) ou \(\mathbb{R}^3\), interprétation cinématique, arcs paramétrés, tangentes, normales, longueur d’un arc.
Chapitre 05 — Intégration des fonctions continues sur un intervalle. Intégrales généralisées sur \([a,+\infty[\), intégrabilité, intégrales généralisées sur un intervalle quelconque, intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables.
Chapitre 06 — Séries numériques. Convergence et divergence, séries géométriques, séries à termes positifs, théorèmes de comparaison, règle de d’Alembert, séries de Riemann, séries alternées (Leibniz), convergence absolue.
Chapitre 07 — Séries entières. Rayon de convergence (lemme d’Abel), somme d’une série entière d’une variable réelle, propriétés de la somme (continuité, dérivation, intégration terme à terme), fonctions développables en série entière, développements usuels.
Chapitre 08 — Espaces probabilisés ; variables aléatoires réelles ; cas discret. Tribus, espaces probabilisés, variables aléatoires et lois, variables aléatoires discrètes, espérance et moments, fonctions génératrices, inégalités (Markov, Bienaymé-Tchebychev, Jensen), convergence en probabilité et en loi, loi faible des grands nombres.
Chapitre 09 — Espaces préhilbertiens réels. Endomorphismes des espaces euclidiens. Produits scalaires, orthogonalité, projection orthogonale, matrices orthogonales, isométries vectorielles (plan et espace), matrices symétriques réelles, théorème spectral.
Chapitre 10 — Séries de Fourier. Fonctions définies par morceaux, coefficients et séries de Fourier, théorème de Parseval, théorème de Dirichlet, interprétations en sciences physiques et industrielles.
Chapitre 11 — Équations différentielles linéaires. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 et 2, problème de Cauchy, structure des solutions, systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants.
Chapitre 12 — Fonctions de plusieurs variables. Introduction à la topologie de \(\mathbb{R}^n\), limite et continuité, dérivées partielles, applications de classe \(\mathcal{C}^k\) (\(k=1\) ou \(2\)), gradient, règle de la chaîne, équations aux dérivées partielles, extremums d’une fonction de deux variables, applications géométriques (tangentes, plans tangents).
Chapitre 13 — Variables aléatoires à densité. Variables aléatoires à densité, lois usuelles (uniforme, exponentielle, gamma, gaussienne), espérance et moments, produit de convolution, inégalités, convergence en loi, théorème de la limite centrée.