Rappels et compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 01. Familles dénombrables de vecteurs, produit et somme d’espaces vectoriels, projecteurs et symétries, matrices par blocs, sous-espaces stables, trace, polynômes de matrice.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Familles dénombrables de vecteurs

1.1 Définitions

Définition 1.1 — (Famille libre)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et (e_i)_{i \in I} une famille de vecteurs de E indexée par un ensemble I au plus dénombrable. On dit que la famille (e_i)_{i \in I} est libre si pour toute partie finie J \subset I et toute famille (\lambda_i)_{i \in J} de scalaires : \sum_{i \in J} \lambda_i e_i = 0 \implies \forall i \in J, \; \lambda_i = 0

Définition 1.2 — (Famille génératrice)

On dit que la famille (e_i)_{i \in I} est génératrice de E si tout vecteur de E est combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs de la famille, c’est-à-dire si : \mathrm{Vect}(e_i, i \in I) = E

Définition 1.3 — (Base dénombrable)

On dit que la famille (e_i)_{i \in I} est une base dénombrable de E si elle est à la fois libre et génératrice.

Exemple 1.1

La famille (X^n)_{n \in \mathbb{N}} est une base dénombrable de \mathbb{K}[X].

Exemple 1.2

La famille (E_{i,j})_{(i,j) \in \{1,\ldots,n\}^2} est une base de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).

1.2 Cas particulier : familles sommables de vecteurs

Définition 1.4 — (Famille sommable de vecteurs)

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et (u_i)_{i \in I} une famille de vecteurs de E indexée par un ensemble dénombrable. On dit que la famille (u_i)_{i \in I} est sommable si pour toute bijection \varphi : \mathbb{N} \to I, la série \sum_{n=0}^{+\infty} u_{\varphi(n)} est absolument convergente, et sa somme ne dépend pas du choix de \varphi.

2 Produit et somme d’espaces vectoriels

2.1 Produit d’espaces vectoriels

Définition 2.1 — (Produit d’espaces vectoriels)

Soient E_1, E_2, \ldots, E_p des \mathbb{K}-espaces vectoriels. Le produit E = E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p est muni d’une structure de \mathbb{K}-espace vectoriel par les lois : (x_1, \ldots, x_p) + (y_1, \ldots, y_p) = (x_1 + y_1, \ldots, x_p + y_p) \lambda \cdot (x_1, \ldots, x_p) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_p)

Proposition 2.1

Si E_1, \ldots, E_p sont de dimensions finies, alors E = E_1 \times \cdots \times E_p est de dimension finie et : \dim(E) = \dim(E_1) + \dim(E_2) + \cdots + \dim(E_p)

Exemple 2.1

\mathbb{K}^n = \mathbb{K} \times \mathbb{K} \times \cdots \times \mathbb{K} (n fois) est un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n.

2.2 Somme de sous-espaces vectoriels

Définition 2.2 — (Somme de sous-espaces)

Soient F_1, F_2, \ldots, F_p des sous-espaces vectoriels d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. La somme de ces sous-espaces est : F_1 + F_2 + \cdots + F_p = \{x_1 + x_2 + \cdots + x_p \mid x_i \in F_i\}

Définition 2.3 — (Somme directe)

La somme F_1 + F_2 + \cdots + F_p est dite directe, notée F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_p, si tout vecteur de cette somme s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de chaque F_i.

On a l’équivalence : F_1 + \cdots + F_p \text{ est directe} \iff \forall i, \; F_i \cap \sum_{j \neq i} F_j = \{0_E\}

Proposition 2.2 — (Dimension d’une somme directe)

Si E = F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_p avec chaque F_i de dimension finie, alors : \dim(E) = \dim(F_1) + \dim(F_2) + \cdots + \dim(F_p)

Proposition 2.3 — (Formule de Grassmann)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. Alors : \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)

Définition 2.4 — (Supplémentaires)

Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits supplémentaires si : E = F \oplus G

Proposition 2.4

Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet au moins un supplémentaire.

3 Projecteurs et symétries

3.1 Projecteurs

Définition 3.1 — (Projecteur)

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F, G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. La projection sur F parallèlement à G est l’application linéaire p : E \to E définie par : \forall x = f + g \in E \text{ avec } (f, g) \in F \times G, \quad p(x) = f

Proposition 3.1 — (Caractérisation des projecteurs)

Soit p \in \mathcal{L}(E). Alors p est un projecteur si et seulement si : p^2 = p

Dans ce cas, E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p), \mathrm{Im}(p) est le sous-espace sur lequel p projette et \ker(p) est la direction de projection.

Preuve. (\Rightarrow) Si p est un projecteur sur F parallèlement à G, alors pour tout x = f + g avec f \in F et g \in G : p^2(x) = p(p(x)) = p(f) = f = p(x) car f \in F = \mathrm{Im}(p) et p(f) = f.

(\Leftarrow) Si p^2 = p, on montre que E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p). Pour tout x \in E : x = p(x) + (x - p(x)) avec p(x) \in \mathrm{Im}(p) et p(x - p(x)) = p(x) - p^2(x) = p(x) - p(x) = 0, donc x - p(x) \in \ker(p). De plus, si x \in \mathrm{Im}(p) \cap \ker(p), alors x = p(y) pour un certain y et p(x) = 0, donc x = p(y) = p^2(y) = p(p(y)) = p(x) = 0.

\mathrm{Id}_E est un projecteur et une symétrie. 0_{\mathcal{L}(E)} est un projecteur.

3.2 Symétries

Définition 3.2 — (Symétrie)

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F, G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application linéaire s : E \to E définie par : \forall x = f + g \in E \text{ avec } (f, g) \in F \times G, \quad s(x) = f - g

Proposition 3.2 — (Caractérisation des symétries)

Soit s \in \mathcal{L}(E). Alors s est une symétrie si et seulement si : s^2 = \mathrm{Id}_E

Dans ce cas, E = \ker(s - \mathrm{Id}_E) \oplus \ker(s + \mathrm{Id}_E).

Proposition 3.3 — (Lien entre projecteur et symétrie)

Si p est le projecteur sur F parallèlement à G, alors la symétrie par rapport à F parallèlement à G est : s = 2p - \mathrm{Id}_E

4 Matrices par blocs

4.1 Définition

Définition 4.1 — (Matrice par blocs)

Une matrice par blocs est une matrice dont les coefficients sont regroupés en sous-matrices appelées blocs. Par exemple, si A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et si on partitionne les lignes en deux groupes de tailles n_1 et n_2 (n_1 + n_2 = n) et les colonnes en deux groupes de tailles p_1 et p_2 (p_1 + p_2 = p), on peut écrire : A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} où A_{11} \in \mathcal{M}_{n_1, p_1}(\mathbb{K}), A_{12} \in \mathcal{M}_{n_1, p_2}(\mathbb{K}), A_{21} \in \mathcal{M}_{n_2, p_1}(\mathbb{K}) et A_{22} \in \mathcal{M}_{n_2, p_2}(\mathbb{K}).

4.2 Opérations sur les matrices par blocs

Proposition 4.1 — (Opérations sur les matrices par blocs)

Les opérations sur les matrices par blocs suivent les mêmes règles que les opérations sur les matrices usuelles, à condition que les tailles des blocs soient compatibles :

  1. Addition : (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
  2. Multiplication : (AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}

Exemple 4.1

Si A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}, alors : AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}

4.3 Matrices par blocs et sous-espaces stables

Proposition 4.2 — (Matrice par blocs et stabilité)

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n, F un sous-espace vectoriel de E de dimension p, et u \in \mathcal{L}(E).

Si F est stable par u et si \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n) est une base de E adaptée à F (c’est-à-dire (e_1, \ldots, e_p) est une base de F), alors la matrice de u dans la base \mathcal{B} est de la forme : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & D \end{pmatrix} où A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) est la matrice de l’endomorphisme induit u_F dans la base (e_1, \ldots, e_p).

5 Sous-espaces stables

5.1 Définition

Définition 5.1 — (Sous-espace stable)

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et u \in \mathcal{L}(E). Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u (ou u-stable) si : u(F) \subset F

On parle alors de l’endomorphisme induit u_F : F \to F défini par u_F(x) = u(x) pour x \in F.

Proposition 5.1 — (Somme et intersection de sous-espaces stables)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E stables par u. Alors F + G et F \cap G sont stables par u.

Proposition 5.2 — (Cas d’une décomposition en somme directe)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E stables par u. Si \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n) est une base de E adaptée à la décomposition E = F \oplus G, alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix} où A est la matrice de u_F et D est la matrice de u_G.

Exemple 5.1 — (Matrice d’un projecteur)

Si p est un projecteur sur F parallèlement à G avec E = F \oplus G, et si \mathcal{B} est une base adaptée, alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(p) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Exemple 5.2 — (Matrice d’une symétrie)

Si s est une symétrie par rapport à F parallèlement à G avec E = F \oplus G, et si \mathcal{B} est une base adaptée, alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(s) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_{n-p} \end{pmatrix}

6 Trace

6.1 Trace d’une matrice carrée

Définition 6.1 — (Trace d’une matrice)

Soit A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). La trace de A est : \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Proposition 6.1 — (Propriétés de la trace)

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et \lambda \in \mathbb{K}.

  1. Linéarité : \mathrm{tr}(\lambda A + B) = \lambda \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)
  2. Invariance par transposition : \mathrm{tr}({}^tA) = \mathrm{tr}(A)
  3. Trace d’un produit : \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)
  4. Trace de l’identité : \mathrm{tr}(I_n) = n

Proposition 6.2 — (Trace d’une matrice triangulaire)

Si A est une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), alors : \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

6.2 Trace d’un endomorphisme

Définition 6.2 — (Trace d’un endomorphisme)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et u \in \mathcal{L}(E). La trace de u est : \mathrm{tr}(u) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)) où \mathcal{B} est une base quelconque de E.

Proposition 6.3 — (Indépendance de la base)

La trace d’un endomorphisme ne dépend pas du choix de la base.

Preuve. Si \mathcal{B} et \mathcal{B}' sont deux bases de E, alors \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P où P est la matrice de passage. Donc : \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)) = \mathrm{tr}(P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) P P^{-1}) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u))

Proposition 6.4 — (Trace et projecteur)

Si p est un projecteur de E, alors : \mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p) = \dim(\mathrm{Im}(p))

7 Polynômes de matrice

7.1 Morphisme d’évaluation

Définition 7.1 — (Polynôme de matrice)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Pour tout polynôme P = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{K}[X], on définit : P(A) = \sum_{k=0}^d a_k A^k où A^0 = I_n et A^k = A \cdot A \cdot \cdots \cdot A (k fois).

Proposition 7.1 — (Morphisme de \boldsymbol{\mathbb{K}}-algèbres)

L’application \Phi_A : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) définie par P \mapsto P(A) est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres. Autrement dit :

  1. \Phi_A(\lambda P + Q) = \lambda \Phi_A(P) + \Phi_A(Q)
  2. \Phi_A(PQ) = \Phi_A(P) \cdot \Phi_A(Q)
  3. \Phi_A(1) = I_n

7.2 Idéal annulateur et polynôme minimal

Définition 7.2 — (Polynôme annulateur)

Un polynôme P \in \mathbb{K}[X] est dit annulateur de A si P(A) = 0.

L’ensemble des polynômes annulateurs de A est un idéal de \mathbb{K}[X], appelé idéal annulateur de A.

Théorème 7.1 — (Existence du polynôme minimal)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors l’idéal annulateur de A est non réduit à \{0\}.

Il existe un unique polynôme unitaire P_A \in \mathbb{K}[X] de plus petit degré annulant A, appelé polynôme minimal de A. On a : \{P \in \mathbb{K}[X] \mid P(A) = 0\} = P_A \cdot \mathbb{K}[X]

Proposition 7.2 — (Lien entre polynôme minimal et valeurs propres)

Si \lambda est une valeur propre de A, alors \lambda est une racine du polynôme minimal P_A.

Proposition 7.3 — (Polynôme minimal d’une matrice diagonalisable)

Si A est diagonalisable avec des valeurs propres distinctes \lambda_1, \ldots, \lambda_r, alors : P_A(X) = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)

7.3 Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème 7.2 — (Théorème de Cayley-Hamilton)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et \chi_A son polynôme caractéristique. Alors : \chi_A(A) = 0

Autrement dit, le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de A.

Corollaire 7.1

Le polynôme minimal P_A divise le polynôme caractéristique \chi_A.

Exemple 7.1

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Le polynôme caractéristique est \chi_A(X) = (X-1)^2.

On vérifie que A - I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0 mais (A - I_2)^2 = 0.

Donc le polynôme minimal est P_A(X) = (X-1)^2.

8 Exercices

Exercice 8.1

Soient F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} et G = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y = z\}.

  1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de \mathbb{R}^3.
  2. Montrer que \mathbb{R}^3 = F \oplus G.
  3. Déterminer la matrice de la projection sur F parallèlement à G dans la base canonique.

Exercice 8.2

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \mathrm{tr}(A) et \det(A).
  2. A est-elle diagonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 8.3

Soit p \in \mathcal{L}(E) tel que p^2 = p. Montrer que :

  1. \mathrm{Im}(p) = \ker(p - \mathrm{Id}_E).
  2. E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p).

Exercice 8.4 — (Trace et projecteur)

Soit p un projecteur de E. Montrer que \mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p).

Exercice 8.5

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) inversible et diagonalisable. Montrer que A^{-1} est diagonalisable et exprimer A^{-1} en fonction de la diagonalisation de A.

Exercice 8.6 — (Polynôme minimal)

Soit A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) diagonalisable avec \chi_A(X) = (X-1)^2(X-2). Déterminer le polynôme minimal de A.

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Chapitre 01 : Rappels et compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices