Déterminants

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 02. Déterminants d’une matrice carrée, déterminants d’une famille de vecteurs, déterminant d’un endomorphisme, opérations élémentaires, développement de Laplace, formules de Cramer.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne un corps (\mathbb{Q}, \mathbb{R} ou \mathbb{C}).

1 Déterminant d’une matrice carrée

1.1 Définition et premières propriétés

Il existe une unique application de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) dans \mathbb{K}, appelée déterminant, telle que :

  1. Le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne, les autres étant fixés (multilinéarité).
  2. Si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul.
  3. Le déterminant de la matrice identité I_n vaut 1.

Le déterminant est donc la seule forme n-linéaire alternée telle que \det(I_n) = 1. Les autres formes multilinéaires alternées sont les multiples scalaires du déterminant.

Définition 1.1 — (Notation)

On note le déterminant d’une matrice A = (a_{ij}) par : \det A \qquad \text{ou} \qquad \left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|

Si on note C_i la i-ème colonne de A, alors : \det A = \left|\begin{matrix}C_1 & C_2 & \cdots & C_n\end{matrix}\right| = \det(C_1, C_2, \ldots, C_n)

1.2 Déterminant en dimension 2

Proposition 1.1 — (Déterminant \boldsymbol{2 \times 2})

En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : \det \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc

C’est donc le produit des éléments sur la diagonale principale moins le produit des éléments sur l’autre diagonale.

1.3 Déterminant en dimension 3 : règle de Sarrus

Proposition 1.2 — (Déterminant \boldsymbol{3 \times 3} et règle de Sarrus)

En dimension 3, pour A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} : \det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{32} a_{23} a_{11} - a_{33} a_{21} a_{12}

Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c’est la règle de Sarrus : on recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice, puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la direction de la diagonale descendante, et on soustrait ensuite les produits de trois termes selon la diagonale montante.

2 Premières propriétés du déterminant

2.1 Conséquences de la définition

Proposition 2.1 — (Conséquences immédiates)

  1. Le déterminant d’une matrice comportant une colonne nulle est nul.
  2. Le déterminant de la matrice nulle 0_n vaut 0.
  3. Le déterminant de la matrice identité I_n vaut 1.

2.2 Effet des opérations élémentaires sur les colonnes

Proposition 2.2 — (Opérations élémentaires sur les colonnes)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) une matrice ayant les colonnes C_1, C_2, \ldots, C_n. On note A' la matrice obtenue par une des opérations élémentaires sur les colonnes :

  1. C_i \leftarrow \lambda C_i avec \lambda \neq 0 : le déterminant est multiplié par \lambda.
  2. C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j avec \lambda \in \mathbb{K} (et j \neq i) : le déterminant ne change pas.
  3. C_i \leftrightarrow C_j : le déterminant change de signe.

Les mêmes propriétés sont valables pour les opérations élémentaires sur les lignes :

  1. L_i \leftarrow \lambda L_i avec \lambda \neq 0 : le déterminant est multiplié par \lambda.
  2. L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j avec \lambda \in \mathbb{K} (et j \neq i) : le déterminant ne change pas.
  3. L_i \leftrightarrow L_j : le déterminant change de signe.

Exemple 2.1 — (Calcul par opérations élémentaires)

Calculons \det A où A = \begin{pmatrix}0 & 3 & 2 \\ 1 & -6 & 6 \\ 5 & 9 & 1\end{pmatrix}.

On effectue C_1 \leftrightarrow C_2 pour avoir un pivot en haut à gauche, puis on utilise des opérations élémentaires pour obtenir une matrice triangulaire. Le déterminant de la matrice triangulaire est le produit des termes diagonaux.

2.3 Déterminant d’une matrice triangulaire

Proposition 2.3 — (Déterminant triangulaire)

Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est égal au produit des termes diagonaux : \det \begin{pmatrix}a_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & \cdots & * \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}

Corollaire 2.1

Le déterminant d’une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux.

3 Développement de Laplace

3.1 Mineurs et cofacteurs

Définition 3.1 — (Matrice extraite et mineur)

Soit A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Pour (i,j) \in \{1, \ldots, n\}^2, on note A_{i,j} la matrice obtenue à partir de A en supprimant la ligne i et la colonne j.

Le mineur d’ordre n-1 associé à (i,j) est \det(A_{i,j}).

Définition 3.2 — (Cofacteur)

Le cofacteur de a_{ij} dans A est le scalaire : \Delta_{i,j}(A) = (-1)^{i+j} \det(A_{i,j})

Exemple 3.1

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.

Le cofacteur de a_{11} = 1 est : \Delta_{1,1}(A) = (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} = 1 \cdot (45 - 48) = -3

3.2 Formule de développement suivant une ligne ou une colonne

Théorème 3.1 — (Développement de Laplace)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors pour toute ligne i : \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \Delta_{i,j}(A)

Et pour toute colonne j : \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \Delta_{i,j}(A)

En pratique, on choisit de développer suivant la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.

Exemple 3.2 — (Développement par rapport à une colonne)

Soit A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.

On choisit de développer par rapport à la seconde colonne (car c’est là qu’il y a le plus de zéros) : \det A = 0 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{22} + 3 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{42} où les C_{ij} sont les cofacteurs. On développe ensuite chacun des deux déterminants 3 \times 3 restants.

4 Propriétés du déterminant

4.1 Multiplicativité

Théorème 4.1 — (Déterminant d’un produit)

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors : \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)

4.2 Déterminant de l’inverse

Proposition 4.1 — (Déterminant de l’inverse)

Soit A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}). Alors : \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}

Preuve. Comme A A^{-1} = I_n, on a : \det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1 Donc \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.

4.3 Déterminant de la transposée

Proposition 4.2 — (Déterminant de la transposée)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors : \det({}^tA) = \det(A)

4.4 Déterminant et scalaires

Proposition 4.3

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et \lambda \in \mathbb{K}. Alors : \det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)

Preuve. La matrice \lambda A est obtenue en multipliant chaque colonne de A par \lambda. Comme le déterminant est multilinéaire par rapport aux colonnes : \det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)

4.5 Comatrice et inverse d’une matrice

Définition 4.1 — (Comatrice)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). La comatrice de A, notée \mathrm{Com}(A), est la matrice des cofacteurs : \mathrm{Com}(A) = (\Delta_{i,j}(A))_{1 \leq i,j \leq n}

Théorème 4.2 — (Formule de la comatrice)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors : A \cdot {}^t\mathrm{Com}(A) = {}^t\mathrm{Com}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n

En particulier, si A est inversible : A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot {}^t\mathrm{Com}(A)

5 Déterminant d’une famille de vecteurs

5.1 Définition

Définition 5.1 — (Déterminant d’une famille de vecteurs)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n muni d’une base \mathcal{B}. Soit (x_1, \ldots, x_n) une famille de n vecteurs de E.

Le déterminant de la famille (x_1, \ldots, x_n) relativement à la base \mathcal{B} est : \det_{\mathcal{B}}(x_1, \ldots, x_n) = \det(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x_1, \ldots, x_n)) où \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x_1, \ldots, x_n) est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des x_i dans la base \mathcal{B}.

Le déterminant d’une famille de vecteurs dépend de la base choisie.

5.2 Formule de changement de base

Théorème 5.1 — (Changement de base pour le déterminant)

Soient \mathcal{B} et \mathcal{B}' deux bases de E et (x_1, \ldots, x_n) une famille de vecteurs de E. Alors : \det_{\mathcal{B}'}(x_1, \ldots, x_n) = \det(P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}}) \cdot \det_{\mathcal{B}}(x_1, \ldots, x_n) où P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}} est la matrice de passage de la base \mathcal{B} à la base \mathcal{B}'.

5.3 Caractérisation des bases

Théorème 5.2 — (Déterminant et base)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n et (v_1, \ldots, v_n) une famille de n vecteurs de E. Soit A la matrice de cette famille dans une base \mathcal{B} de E.

Les vecteurs (v_1, \ldots, v_n) forment une base de E si et seulement si : \det A \neq 0

Corollaire 5.1

Une famille de n vecteurs de \mathbb{K}^n forme une base si et seulement si le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs (en colonnes) est non nul.

6 Déterminant d’un endomorphisme

6.1 Définition

Définition 6.1 — (Déterminant d’un endomorphisme)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n et f \in \mathcal{L}(E). À chaque choix de base \mathcal{B} de E correspond une matrice A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f). Cette matrice varie avec le choix de la base, mais pas son déterminant, ce qui permet de définir le déterminant de l’endomorphisme f par : \det(f) = \det(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f))

Proposition 6.1 — (Indépendance de la base)

Le déterminant d’un endomorphisme ne dépend pas du choix de la base.

Preuve. Si \mathcal{B} et \mathcal{B}' sont deux bases de E et P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \cdot \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) \cdot P Donc : \det(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)) = \det(P^{-1}) \cdot \det(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)) \cdot \det(P) = \det(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f))

6.2 Propriétés

Proposition 6.2

Soient f, g \in \mathcal{L}(E). Alors :

  1. \det(f \circ g) = \det(f) \cdot \det(g)
  2. Si f est un automorphisme : \det(f^{-1}) = \frac{1}{\det(f)}
  3. f est un automorphisme si et seulement si \det(f) \neq 0

Exemple 6.1

On considère l’application f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X] définie par P \mapsto P(0)X^2 + P'(0)X + \frac{1}{2}P''(0). Sa matrice dans la base canonique est : A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix} Donc \det f = \det A = -1 \neq 0, on en déduit que f est un automorphisme de \mathbb{R}_2[X].

7 Formules de Cramer

7.1 Énoncé

Théorème 7.1 — (Règle de Cramer)

Soit AX = B un système de n équations à n inconnues. Supposons que \det A \neq 0.

Pour j \in \{1, \ldots, n\}, on note A_j la matrice obtenue en remplaçant la j-ème colonne de A par le second membre B. Alors la solution du système est : \boxed{x_j = \frac{\det A_j}{\det A}}

Exemple 7.1

Résolvons le système : \begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ x - y + 2z = 4 \\ 3x + y + z = 5 \end{cases}

On a A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}.

On calcule : \det A = 44, \quad \det A_1 = -40, \quad \det A_2 = 72, \quad \det A_3 = 152

La solution est : x_1 = \frac{-40}{44} = -\frac{10}{11}, \quad x_2 = \frac{72}{44} = \frac{18}{11}, \quad x_3 = \frac{152}{44} = \frac{38}{11}

La méthode de Cramer n’est pas la méthode la plus efficace pour résoudre un système, mais est utile si le système contient des paramètres.

8 Déterminants remarquables

8.1 Déterminant de Vandermonde

Théorème 8.1 — (Déterminant de Vandermonde)

Soient a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{K}. Le déterminant de Vandermonde est : V(a_1, \ldots, a_n) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i)

Preuve. On procède par récurrence sur n.

Initialisation : Pour n = 2, V(a_1, a_2) = a_2 - a_1 = \prod_{1 \leq i < j \leq 2} (a_j - a_i).

Hérédité : Supposons le résultat vrai au rang n-1. On considère V(a_1, \ldots, a_n) comme un polynôme en a_n de degré n-1. Ce polynôme s’annule en a_n = a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} (car deux colonnes deviennent identiques). Donc : V(a_1, \ldots, a_n) = C \prod_{i=1}^{n-1} (a_n - a_i) où C est le coefficient de a_n^{n-1}, qui est V(a_1, \ldots, a_{n-1}). Par hypothèse de récurrence : V(a_1, \ldots, a_n) = V(a_1, \ldots, a_{n-1}) \prod_{i=1}^{n-1} (a_n - a_i) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i)

8.2 Déterminant circulant

Proposition 8.1 — (Déterminant circulant)

Soit \Delta = \left|\begin{array}{cccccc}a_1 & a_2 & \ldots & & \ldots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & & & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & & & a_{n-2} \\ \vdots & & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_2 & a_3 & \ldots & & a_n & a_1\end{array}\right| où a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}.

Ce déterminant vaut : \Delta = \prod_{k=1}^{n}\left(\sum_{v=1}^{n}\omega^{(k-1)(1-v)}a_v\right) où \omega = e^{2i\pi/n}.

8.3 Déterminant de Cauchy

Proposition 8.2 — (Déterminant de Cauchy)

Soient \alpha_1, \ldots, \alpha_n et \beta_1, \ldots, \beta_n des éléments de \mathbb{K} tels que \alpha_i + \beta_j \neq 0 pour tout (i,j). Alors : \det\begin{pmatrix} \frac{1}{\alpha_1 + \beta_1} & \cdots & \frac{1}{\alpha_1 + \beta_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{\alpha_n + \beta_1} & \cdots & \frac{1}{\alpha_n + \beta_n} \end{pmatrix} = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(\alpha_j - \alpha_i)(\beta_j - \beta_i)}{\prod_{1 \leq i, j \leq n}(\alpha_i + \beta_j)}

9 Exercices

Exercice 9.1

Calculer les déterminants suivants :

  1. \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}
  2. \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
  3. \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 3 & 4 & 15 \\ 5 & 6 & 21 \end{pmatrix}
  4. \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \\ 1 & 5 & 25 & 125 \end{pmatrix}

Exercice 9.2

Soient A = \begin{pmatrix} a & 1 & 3 \\ 0 & b & 2 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & d & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Calculer, lorsque c’est possible, les déterminants des matrices A, B, A^{-1}, B^{-1}, A^T, B^T, AB, BA.

Exercice 9.3

Par développement suivant une ligne (ou une colonne) bien choisie, calculer les déterminants :

  1. \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
  2. \det\begin{pmatrix} t & 0 & 1 & 0 \\ 1 & t & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t \end{pmatrix}

Exercice 9.4

En utilisant la multilinéarité du déterminant, calculer \det(-I_n).

Exercice 9.5

Pour A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), calculer \det(\lambda A) en fonction de \det A.

Exercice 9.6

Montrer que le déterminant reste invariant par l’opération C_i \leftarrow C_i + \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^n \lambda_j C_j (on ajoute à une colonne de A une combinaison linéaire des autres colonnes de A).

Exercice 9.7 — (Déterminant et base)

Pour quelles valeurs de a, b \in \mathbb{R} les vecteurs \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} forment-ils une base de \mathbb{R}^3 ?

Exercice 9.8 — (Formules de Cramer)

Résoudre le système suivant par la méthode de Cramer : \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 3y + z = 2 \\ 3x + y + 2z = 3 \end{cases}

Exercice 9.9 — (Déterminant de Vandermonde)

Calculer \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{pmatrix}.

Exercice 9.10

Soient A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) et B \in \mathcal{M}_q(\mathbb{R}). Calculer (en fonction de \det(A) et \det(B)) le déterminant de la matrice M = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{p+q}(\mathbb{R}).

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Chapitre 02 : Déterminants