Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 03. Éléments propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, endomorphismes et matrices trigonalisables, application de la réduction.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne un sous-corps de \mathbb{C} (souvent \mathbb{R} ou \mathbb{C}), E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n, \mathscr{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base de E, \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) la \mathbb{K}-algèbre des matrices carrées de taille n, et \mathcal{L}(E) la \mathbb{K}-algèbre des endomorphismes de E.

1 Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée

1.1 Définitions

Définition 1.1 — (Droite stable, valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre)

Soient u \in \mathcal{L}(E) et x_0 \in E \setminus \{0_E\}. On suppose que la droite vectorielle D = \mathbb{K} \cdot x_0 est stable par u. Alors il existe un scalaire \lambda \in \mathbb{K} tel que : \forall x \in D, \quad u(x) = \lambda x

  1. Le scalaire \lambda est appelé valeur propre de u.
  2. Tout vecteur non nul de E vérifiant u(x) = \lambda x est appelé vecteur propre associé à la valeur propre \lambda.
  3. L’ensemble E_\lambda = \{x \in E \mid u(x) = \lambda x\} \cup \{0_E\} = \ker(u - \lambda \mathrm{Id}_E) est un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace propre de u associé à la valeur propre \lambda.

Définition 1.2 — (Spectre)

Le spectre d’un endomorphisme u d’un espace de dimension finie est l’ensemble de ses valeurs propres. On le note \mathrm{Sp}(u).

Proposition 1.1

Soient u \in \mathcal{L}(E) et \lambda_1, \ldots, \lambda_r des valeurs propres de u deux à deux distinctes. Alors :

  1. La somme E_{\lambda_1} + \cdots + E_{\lambda_r} est directe.
  2. Toute famille formée en regroupant des familles libres de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est libre.

Proposition 1.2

Le spectre d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie n est fini de cardinal au plus n.

Proposition 1.3

Si P \in \mathbb{K}[X] est un polynôme annulateur de u (c’est-à-dire P(u) = 0), alors toute valeur propre de u est racine de P.

Plus précisément, si u(x) = \lambda x, alors P(u)(x) = P(\lambda) x pour tout P \in \mathbb{K}[X].

1.2 Éléments propres d’une matrice carrée

Définition 1.3 — (Éléments propres d’une matrice carrée)

Soit M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). On définit de même :

  1. Les valeurs propres de M : \lambda \in \mathbb{K} est valeur propre de M s’il existe X \in \mathbb{K}^n \setminus \{0\} tel que MX = \lambda X.
  2. Les vecteurs propres de M.
  3. Les sous-espaces propres de M : E_\lambda(M) = \ker(M - \lambda I_n).
  4. Le spectre de M : \mathrm{Sp}(M).

L’équation aux éléments propres est : MX = \lambda X

Proposition 1.4 — (Lien entre endomorphisme et matrice)

Si M = \mathrm{Mat}_{\mathscr{B}}(u), alors les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres de M correspondent aux valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres de u.

Proposition 1.5

Deux matrices semblables ont même spectre.

Exemple 1.1

Cherchons les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice : A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}

On résout le système AX = \lambda X avec X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \neq 0 : \begin{cases} -x_1 + 3x_2 + 3x_3 = \lambda x_1 \\ 3x_1 - x_2 - 3x_3 = \lambda x_2 \\ -3x_1 + 3x_2 + 5x_3 = \lambda x_3 \end{cases}

Après résolution, on trouve : \mathrm{Sp}(A) = \{-1, 2\} avec E_{-1} = \mathrm{Vect}((1, -1, 0)) et E_2 = \mathrm{Vect}((1, 0, -1), (0, 1, -1)).

2 Polynôme caractéristique

2.1 Définition et propriétés

Définition 2.1 — (Polynôme caractéristique)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Le polynôme caractéristique de A est : \chi_A(X) = \det(X I_n - A)

Soit u \in \mathcal{L}(E). Le polynôme caractéristique de u, noté \chi_u, est le polynôme caractéristique de sa matrice \mathrm{Mat}_{\mathscr{B}}(u) dans la base \mathscr{B}.

Proposition 2.1

  1. Une matrice A et sa transposée {}^tA ont même polynôme caractéristique.
  2. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. Par conséquent, le polynôme caractéristique d’un endomorphisme ne dépend pas de la base choisie.
  3. Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée est un polynôme unitaire de degré n : \chi_A(X) = X^n - \mathrm{tr}(A) X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A)

2.2 Multiplicité et lien avec trace/déterminant

Proposition 2.2

Soit u \in \mathcal{L}(E) et \lambda \in \mathbb{K} une racine de \chi_u de multiplicité \mu \in \mathbb{N}^*. Alors :

  1. \lambda est une valeur propre de u. \mu est la multiplicité de la valeur propre \lambda.
  2. Le sous-espace propre E_\lambda est de dimension au plus \mu : \dim(E_\lambda) \leq \mu

Proposition 2.3 — (Matrice triangulaire)

Soit A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure). Alors : \chi_A(X) = \prod_{k=1}^n (X - a_{kk})

Corollaire 2.1

Soit u \in \mathcal{L}(E). Si \chi_u = \prod_{k=1}^n (X - \lambda_k) est scindé, alors : \sum_{k=1}^n \lambda_k = \mathrm{tr}(u), \quad \prod_{k=1}^n \lambda_k = \det(u)

3 Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables

3.1 Définition et caractérisation

Définition 3.1 — (Endomorphisme diagonalisable)

Un endomorphisme u \in \mathcal{L}(E) est dit diagonalisable s’il existe une base \mathscr{B}' de E dans laquelle la matrice de u est diagonale : \mathrm{Mat}_{\mathscr{B}'}(u) = \mathrm{Diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) Une telle base est constituée de vecteurs propres de u.

Définition 3.2 — (Matrice diagonalisable)

Une matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) et D diagonale telles que : A = P D P^{-1}

Proposition 3.1

Pour qu’une matrice carrée soit diagonalisable, il faut et il suffit que l’endomorphisme canoniquement associé le soit.

Théorème 3.1 — (Caractérisation par les sous-espaces propres)

Soit u \in \mathcal{L}(E). Alors u est diagonalisable si et seulement si : E = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_r} où \lambda_1, \ldots, \lambda_r sont les valeurs propres distinctes de u.

Théorème 3.2 — (Caractérisation par le polynôme caractéristique)

Un endomorphisme u \in \mathcal{L}(E) est diagonalisable si et seulement si :

  1. \chi_u est scindé sur \mathbb{K} : \chi_u = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)^{\mu_k}
  2. Pour toute valeur propre \lambda_k, on a \dim(E_{\lambda_k}) = \mu_k.

Traduction matricielle : Une matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est diagonalisable si et seulement si \chi_A est scindé sur \mathbb{K} et pour toute valeur propre \lambda_k, on a \dim(E_{\lambda_k}(A)) = \mu_k.

Proposition 3.2 — (Cas des valeurs propres distinctes)

Un endomorphisme u \in \mathcal{L}(E) admettant n valeurs propres distinctes deux à deux est diagonalisable.

Traduction matricielle : Une matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) admettant n valeurs propres distinctes deux à deux est diagonalisable.

3.2 Exemples

Exemple 3.1

  1. Projecteurs : Si p \in \mathcal{L}(E) vérifie p^2 = p, alors p est diagonalisable. En effet, \mathrm{Sp}(p) \subset \{0, 1\} et E = \ker(p) \oplus \mathrm{Im}(p).

  2. Symétries : Si s \in \mathcal{L}(E) vérifie s^2 = \mathrm{Id}_E, alors s est diagonalisable. En effet, \mathrm{Sp}(s) \subset \{-1, 1\} et E = E_{-1} \oplus E_1.

Exemple 3.2

La matrice C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} a pour polynôme caractéristique \chi_C = X^3. Donc la seule valeur propre est 0. Si C était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle, ce qui est impossible car C \neq 0. Donc C n’est pas diagonalisable.

Exemple 3.3 — (Diagonalisation d’une matrice \boldsymbol{2 \times 2})

Soit u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par u(x,y) = (x - y/2, -x/2 + y).

La matrice de u dans la base canonique est : \mathrm{Mat}_{\mathscr{B}}(u) = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}

Le polynôme caractéristique est : \chi_u(X) = (1-X)^2 - \frac{1}{4} = \left(X - \frac{3}{2}\right)\left(X - \frac{1}{2}\right)

Le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, donc u est diagonalisable.

Les sous-espaces propres sont : E_{1/2} = \mathrm{Vect}((1,1)), \quad E_{3/2} = \mathrm{Vect}((1,-1))

La matrice de passage est P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} et : \mathrm{Mat}_{\mathscr{B}'}(u) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}

4 Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables

4.1 Définition et caractérisation

Définition 4.1 — (Endomorphisme trigonalisable)

Un endomorphisme u \in \mathcal{L}(E) est dit trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure.

Définition 4.2 — (Matrice trigonalisable)

Une matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

Proposition 4.1

Pour qu’une matrice carrée soit trigonalisable, il faut et il suffit que l’endomorphisme canoniquement associé le soit.

Théorème 4.1 — (Caractérisation)

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base \mathbb{K}.

Traduction matricielle : Une matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est trigonalisable si et seulement si \chi_A est scindé sur \mathbb{K}.

Corollaire 4.1

En particulier, tout endomorphisme d’un \mathbb{C}-espace vectoriel et toute matrice de \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) sont trigonalisables.

Corollaire 4.2 — (Expression du déterminant et de la trace)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) trigonalisable. Alors \chi_A = \prod_{k=1}^n (X - \lambda_k) et : \sum_{k=1}^n \lambda_k = \mathrm{tr}(A), \quad \prod_{k=1}^n \lambda_k = \det(A)

Exemple 4.1

La matrice M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} est trigonalisable car : M = P^{-1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} P où P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

5 Application de la réduction

5.1 Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées

Proposition 5.1 — (Morphisme de \boldsymbol{\mathbb{K}}-algèbres)

Soit u \in \mathcal{L}(E). L’application : \Phi : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{L}(E), \quad P \mapsto P(u) est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres et on a : \ker \Phi = \{P \in \mathbb{K}[X] \mid P(u) = 0\}, \quad \mathrm{Im}(\Phi) = \mathbb{K}[u] = \{P(u) \mid P \in \mathbb{K}[X]\} \ker \Phi est l’idéal annulateur de u et \mathbb{K}[u] est une sous-algèbre de \mathcal{L}(E) commutative.

De même, pour A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), l’application \Psi : P \mapsto P(A) est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres.

5.2 Décomposition spectrale

Théorème 5.1 — (Décomposition spectrale)

Soit u \in \mathcal{L}(E) diagonalisable. Soient F_1, \ldots, F_r les sous-espaces propres de u associés aux valeurs propres \lambda_1, \ldots, \lambda_r. Alors il existe une famille de projecteurs (p_k)_{1 \leq k \leq r} associée à la décomposition E = \bigoplus_{k=1}^r F_k vérifiant :

  1. u = \sum_{k=1}^r \lambda_k p_k
  2. Pour tout P \in \mathbb{K}[X] : P(u) = \sum_{k=1}^r P(\lambda_k) p_k

5.3 Caractérisation de la diagonalisabilité par le polynôme minimal

Théorème 5.2 — (Caractérisation)

Un endomorphisme u \in \mathcal{L}(E) est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal P_u est scindé à racines simples. Autrement dit, P_u s’écrit : P_u = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k) \quad \text{où les } \lambda_k \text{ sont deux à deux distincts}

Traduction matricielle : Une matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal P_A est scindé à racines simples.

5.4 Applications pratiques

Exemple 5.1 — (Calcul de puissances de matrices)

Si A est diagonalisable avec A = PDP^{-1}, alors : A^n = PD^nP^{-1} où D^n = \mathrm{Diag}(\lambda_1^n, \ldots, \lambda_r^n).

Exemple 5.2 — (Résolution de systèmes différentiels)

La diagonalisation permet de résoudre les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants X' = AX en se ramenant à des équations découplées.

Exemple 5.3 — (Suites récurrentes linéaires)

La diagonalisation permet de résoudre les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 en diagonalisant la matrice compagnon associée.

6 Exercices

Exercice 6.1

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A.
  2. A est-elle diagonalisable ?
  3. Si oui, trouver une matrice P inversible et une matrice diagonale D telles que A = P D P^{-1}.

Exercice 6.2

Soit B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_B.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. B est-elle diagonalisable ? Si oui, diagonaliser B.

Exercice 6.3

Soit C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_C.
  2. C est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de C.

Exercice 6.4

Soit u \in \mathcal{L}(E) tel que u^3 = u. Montrer que u est diagonalisable.

Exercice 6.5

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) inversible et diagonalisable. Montrer que A^{-1} est diagonalisable et exprimer A^{-1} en fonction de la diagonalisation de A.

Exercice 6.6

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) telles que AB = BA. Montrer que si \lambda est valeur propre de A, alors le sous-espace propre E_\lambda(A) est stable par B.

Exercice 6.7

Soit A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K}). Montrer que A est diagonalisable si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :

  1. A est scalaire (c’est-à-dire A = \lambda I_2).
  2. \chi_A est scindé à racines simples.

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Chapitre 03 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées