Fonctions vectorielles d’une variable réelle, arcs paramétrés

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 04. Dérivation d’une fonction à valeurs dans \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3, interprétation cinématique, arcs paramétrés, tangentes, normales, longueur d’un arc.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle non trivial de \mathbb{R} et E = \mathbb{R}^m (avec m = 2 ou m = 3) est muni de la norme euclidienne \|\cdot\| = \|\cdot\|_2. On considère des fonctions f : I \to E. Une telle application est définie par ses applications composantes f = (f_1, \ldots, f_m).

1 Fonctions vectorielles d’une variable réelle

1.1 Limite et continuité

Définition 1.1 — (Limite d’une fonction vectorielle)

Soit f : I \to E une fonction et a un point adhérent à I. On dit que f admet pour limite l \in E en a si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad (x \in I \text{ et } |x - a| < \delta) \implies \|f(x) - l\| < \varepsilon

On note \lim_{x \to a} f(x) = l ou f(x) \xrightarrow[x \to a]{} l.

Définition 1.2 — (Continuité d’une fonction vectorielle)

Soit f : I \to E une fonction et a \in I. On dit que f est continue en a si : \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Proposition 1.1 — (Caractérisation par les composantes)

f = (f_1, \ldots, f_m) est continue en a si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_m sont continues en a.

Exemple 1.1

La fonction f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par f(t) = (\cos t, \sin t) est continue sur \mathbb{R} car \cos et \sin sont continues sur \mathbb{R}.

1.2 Dérivabilité

Définition 1.3 — (Dérivabilité)

Une fonction f : I \to E est dite dérivable en a \in I si le taux d’accroissement : \Delta(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} admet une limite l \in E quand x \to a. Cette limite est notée f'(a) et appelée le (vecteur) dérivé de f au point a.

On note aussi : f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Définition 1.4 — (Dérivabilité à droite et à gauche)

La dérivée à droite de f en a est, si elle existe : f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

La dérivée à gauche de f en a est, si elle existe : f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en a avec f'_d(a) = f'_g(a).

Proposition 1.2 — (Caractérisation par les composantes)

f = (f_1, \ldots, f_m) est dérivable en a si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_m sont dérivables en a. Dans ce cas : f'(a) = (f_1'(a), f_2'(a), \ldots, f_m'(a))

Exemple 1.2

Pour f(t) = (\cos t, \sin t), on a f'(t) = (-\sin t, \cos t).

Pour g(t) = (t, t^2, t^3), on a g'(t) = (1, 2t, 3t^2).

Définition 1.5 — (Dérivabilité sur un intervalle, application dérivée)

f : I \to E est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I. L’application f' : I \to E ainsi définie est appelée l’application dérivée de f.

1.3 Fonctions de classe \mathcal{C}^k

Définition 1.6 — (Fonction vectorielle de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^k}, de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^\infty})

Une fonction f : I \to E est dite de classe \mathcal{C}^k sur I si :

  1. f est dérivable k fois sur I.
  2. La dérivée k-ème de f est continue sur I.

On note \mathcal{C}^k(I, E) l’ensemble des fonctions de classe \mathcal{C}^k sur I.

La fonction f est dite de classe \mathcal{C}^\infty sur I si f est indéfiniment dérivable sur I.

Proposition 1.3 — (\boldsymbol{\mathcal{C}^k(I, E)} est un sous-espace vectoriel)

L’ensemble \mathcal{C}^k(I, E) des fonctions de classe \mathcal{C}^k sur I est un sous-espace vectoriel de \mathcal{F}(I, E).

Proposition 1.4 — (Caractérisation par les composantes)

f = (f_1, \ldots, f_m) est de classe \mathcal{C}^k sur I si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_m sont de classe \mathcal{C}^k sur I.

1.4 Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition 1.5 — (Combinaison linéaire)

Soient f, g : I \to E dérivables en a et \lambda, \mu \in \mathbb{R}. Alors \lambda f + \mu g est dérivable en a et : (\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a)

Proposition 1.6 — (Produit par une fonction scalaire)

Soient f : I \to E dérivable en a et \varphi : I \to \mathbb{R} dérivable en a. Alors \varphi \cdot f est dérivable en a et : (\varphi \cdot f)'(a) = \varphi'(a) \cdot f(a) + \varphi(a) \cdot f'(a)

Proposition 1.7 — (Dérivation de \boldsymbol{f \circ \varphi})

Soient f : I \to E dérivable en u_0 \in I et \varphi : J \to I dérivable en t_0 \in J avec \varphi(t_0) = u_0. Alors f \circ \varphi est dérivable en t_0 et : (f \circ \varphi)'(t_0) = \varphi'(t_0) \cdot f'(u_0)

Proposition 1.8 — (Dérivation d’un produit scalaire)

Soient f, g : I \to E dérivables en a, où E est un espace préhilbertien réel. Alors la fonction t \mapsto \langle f(t), g(t) \rangle est dérivable en a et : \frac{d}{dt}\langle f(t), g(t) \rangle \bigg|_{t=a} = \langle f'(a), g(a) \rangle + \langle f(a), g'(a) \rangle

Corollaire 1.1 — (Dérivation de la norme)

Si f : I \to E est dérivable en a et f(a) \neq 0_E, alors t \mapsto \|f(t)\| est dérivable en a et : \frac{d}{dt}\|f(t)\| \bigg|_{t=a} = \frac{\langle f'(a), f(a) \rangle}{\|f(a)\|}

2 Interprétation cinématique

2.1 Vitesse et accélération

Si m = 2 ou 3, l’ensemble des points f(t) décrit la trajectoire (ou le support) du mouvement d’un mobile dans le plan ou dans l’espace.

  • Le vecteur f'(t) correspond au vecteur vitesse à l’instant t.
  • Le vecteur f''(t) correspond au vecteur accélération à l’instant t.

Définition 2.1 — (Vitesse instantanée)

Soit f : I \to \mathbb{R}^m une fonction dérivable en t_0. Le vecteur f'(t_0) est appelé la vitesse instantanée du mobile à l’instant t_0.

Exemple 2.1 — (Mouvement circulaire uniforme)

Le mouvement circulaire uniforme de rayon R et de vitesse angulaire \omega est décrit par : f(t) = (R\cos(\omega t), R\sin(\omega t))

La vitesse est : f'(t) = (-R\omega\sin(\omega t), R\omega\cos(\omega t))

On vérifie que \|f'(t)\| = R\omega (vitesse constante) et \langle f(t), f'(t) \rangle = 0 (la vitesse est perpendiculaire au rayon).

L’accélération est : f''(t) = (-R\omega^2\cos(\omega t), -R\omega^2\sin(\omega t)) = -\omega^2 f(t)

L’accélération est dirigée vers le centre (accélération centripète).

3 Intégration d’une fonction vectorielle sur un segment

3.1 Définition

Définition 3.1 — (Intégrale d’une fonction vectorielle continue par morceaux)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue par morceaux. On définit l’intégrale de f sur [a,b] par : \int_a^b f(t)\, dt = \left(\int_a^b f_1(t)\, dt, \int_a^b f_2(t)\, dt, \ldots, \int_a^b f_m(t)\, dt\right) où f_1, \ldots, f_m sont les composantes de f dans la base canonique de E = \mathbb{R}^m.

3.2 Propriétés

Proposition 3.1 — (Linéarité)

Soient f, g : [a,b] \to E continues par morceaux et \lambda, \mu \in \mathbb{R}. Alors : \int_a^b (\lambda f + \mu g)(t)\, dt = \lambda \int_a^b f(t)\, dt + \mu \int_a^b g(t)\, dt

Proposition 3.2 — (Relation de Chasles)

Pour tout c \in [a,b] : \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^c f(t)\, dt + \int_c^b f(t)\, dt

Proposition 3.3 — (Inégalité triangulaire)

\left\|\int_a^b f(t)\, dt\right\| \leq \int_a^b \|f(t)\|\, dt

Exemple 3.1

Calculons \int_0^{\pi/2} (\cos t, \sin t)\, dt.

\int_0^{\pi/2} \cos t\, dt = [\sin t]_0^{\pi/2} = 1, \quad \int_0^{\pi/2} \sin t\, dt = [-\cos t]_0^{\pi/2} = 1

Donc : \int_0^{\pi/2} (\cos t, \sin t)\, dt = (1, 1)

3.3 Théorème fondamental du calcul intégral

Théorème 3.1 — (Théorème fondamental du calcul intégral)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue. La fonction : F(x) = \int_a^x f(t)\, dt est de classe \mathcal{C}^1 sur [a,b] et F' = f.

3.4 Intégration par parties

Théorème 3.2 — (Intégration par parties)

Soient u : [a,b] \to E et v : [a,b] \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1. Alors : \int_a^b u'(t) v(t)\, dt = [u(t) v(t)]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\, dt

3.5 Changement de variable

Théorème 3.3 — (Changement de variable)

Soient \varphi \in \mathcal{C}^1([c,d], \mathbb{R}) à valeurs dans [a,b], f \in \mathcal{C}([a,b], E). Alors : \int_a^b f(x)\, dx = \int_c^d f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, dt

4 Arcs paramétrés

4.1 Définitions

Définition 4.1 — (Arc paramétré)

On appelle arc paramétré un couple \gamma = (I, \vec{F}) où I \subset \mathbb{R} est un intervalle et \vec{F} : I \to E une application de classe \mathcal{C}^k(I, E).

Le support de l’arc paramétré est la courbe \Gamma = \vec{F}(I) \subset E.

  • À tout t \in I, on associe le point M \in E tel que \overrightarrow{OM} = \vec{F}(t).
  • Si E = \mathbb{R}^2, on écrira \vec{F}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} et les coordonnées de M seront donc \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}.
  • Si E = \mathbb{R}^3, on écrira \vec{F}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} et les coordonnées de M seront donc \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}.

L’étude d’un arc paramétré peut s’interpréter ainsi :

  • I est un intervalle de temps.
  • M(t) est un point mobile du plan dont la position à l’instant t \in I est donnée par \overrightarrow{OM}(t) = \vec{F}(t).
  • Le support de l’arc paramétré (I, \vec{F}) est appelé trajectoire du mouvement.

4.2 Points réguliers et stationnaires

Définition 4.2 — (Point régulier, stationnaire)

Un point M = M(t_0) d’un arc paramétré est dit régulier lorsque \vec{F}'(t_0) \neq \vec{0}. Sinon, on dit que c’est un point stationnaire.

Définition 4.3 — (Arc régulier)

Un arc paramétré est dit régulier si tous ses points sont réguliers, c’est-à-dire si \vec{F}'(t) \neq \vec{0} pour tout t \in I.

4.3 Tangente en un point régulier

Proposition 4.1 — (Tangente en un point régulier)

Un arc paramétré possède une tangente en un point régulier M(t_0), la droite passant par M(t_0) dirigée par le vecteur \vec{F}'(t_0).

Preuve. Notons \vec{u} : I \setminus \{t_0\} \to \mathbb{R}^2 définie par \vec{u}(t) = \frac{\vec{F}(t) - \vec{F}(t_0)}{t - t_0}.

Pour t \neq t_0, le vecteur \vec{u}(t) dirige la droite (M(t_0)M(t)) et \vec{u}(t) \xrightarrow[t \to t_0]{} \vec{F}'(t_0) \neq \vec{0}. Donc la droite passant par M(t_0) dirigée par \vec{F}'(t_0) est la tangente en M(t_0).

4.4 Normale à un arc paramétré plan

Définition 4.4 — (Normale)

Si \gamma : I \to \mathbb{R}^2 est un arc paramétré plan et t_0 un paramètre régulier, la normale à l’arc au point \gamma(t_0) est la droite perpendiculaire à la tangente en ce point.

Proposition 4.2

Si \vec{F}'(t_0) = (x'(t_0), y'(t_0)) est le vecteur tangent, alors un vecteur normal est (-y'(t_0), x'(t_0)).

4.5 Longueur d’un arc

Définition 4.5 — (Longueur d’un arc)

Soit \gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^m un arc paramétré de classe \mathcal{C}^1. La longueur de l’arc est : L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\, dt

Exemple 4.1

Pour \gamma(t) = (\cos t, \sin t) avec t \in [0, 2\pi] : \|\gamma'(t)\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = 1 L(\gamma) = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi C’est bien la circonférence du cercle unité.

Exemple 4.2

Pour \gamma(t) = (t, t^2) avec t \in [0, 1] : \|\gamma'(t)\| = \sqrt{1 + 4t^2} L(\gamma) = \int_0^1 \sqrt{1 + 4t^2}\, dt = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln(2 + \sqrt{5})

5 Étude d’une courbe paramétrée plane

5.1 Méthode d’étude

Proposition 5.1 — (Méthode d’étude)

Pour étudier une courbe paramétrée plane \gamma(t) = (x(t), y(t)) :

  1. Déterminer le domaine de définition.
  2. Étudier les symétries et la périodicité pour restreindre l’intervalle d’étude.
  3. Dresser le tableau de variations des fonctions x et y et repérer dans ce tableau les points stationnaires, les points à tangente horizontale ou verticale et les branches infinies.
  4. Étudier les points stationnaires.
  5. Étudier les branches infinies.
  6. Tracé sommaire de la courbe. Il est inutile d’utiliser la calculatrice pour reporter des points, il suffit de placer les asymptotes éventuelles, de mettre en évidence les points stationnaires et d’avoir l’allure globale de la courbe.
  • Si x(-t) = x(t) et y(-t) = -y(t), les points M(-t) et M(t) sont symétriques par rapport à l’axe (Ox).
  • Si x(-t) = -x(t) et y(-t) = y(t), les points M(-t) et M(t) sont symétriques par rapport à l’axe (Oy).
  • Si x(t + 2\pi) = x(t) et y(t + 2\pi) = y(t), la courbe est 2\pi-périodique.
  • Si x(1/t) = -x(t) et y(1/t) = y(t), les points M(1/t) et M(t) sont symétriques par rapport à (Oy).

5.2 Exemple : la cycloïde

Exemple 5.1 — (Cycloïde)

Une roue de rayon R > 0 roule sans glisser sur une route horizontale. Déterminons la trajectoire d’un point situé sur sa périphérie.

Notons C(t) le centre de la roue et t l’angle entre la verticale et le vecteur \overrightarrow{C(t)M(t)}. La roue roule sans glisser donc si le centre à l’instant t se trouve à l’abscisse x_C, on a x_C = Rt.

On obtient l’équation paramétrique de la courbe qui s’appelle la cycloïde : \begin{cases} x(t) = R(t - \sin t) \\ y(t) = R(1 - \cos t) \end{cases}

Étude :

  1. Les fonctions x et y sont définies sur \mathbb{R}.
  2. Symétries : puisque x(t + 2\pi) = x(t) + 2R\pi, y(t + 2\pi) = y(t), le point M(t + 2\pi) se déduit du point M(t) par une translation de vecteur \vec{V} = (2R\pi, 0). Il suffit donc de tracer la courbe pour t \in [0, 2\pi] et on complète le tracé par une infinité de translations de vecteur \vec{V}. Puisque x(-t) = -x(t) et y(-t) = y(t), le point M(-t) est le symétrique du point M(t) par rapport à l’axe (Oy). Il suffit donc d’étudier la courbe pour t \in [0, \pi] et de compléter par une symétrie par rapport à (Oy).
  3. Variations : \begin{cases} x'(t) = R(1 - \cos t) \geq 0 \\ y'(t) = R\sin t \end{cases}

5.3 Exemple : l’ellipse

Exemple 5.2 — (Ellipse)

La courbe paramétrée : \begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t \end{cases} avec a, b > 0 décrit une ellipse d’équation cartésienne : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

  • x'(t) = -a\sin t, y'(t) = b\cos t.
  • Tangente horizontale : y'(t) = 0 \iff \cos t = 0 \iff t = \frac{\pi}{2} + k\pi.
  • Tangente verticale : x'(t) = 0 \iff \sin t = 0 \iff t = k\pi.

6 Formules de Taylor

6.1 Formule de Taylor avec reste intégral

Théorème 6.1 — (Formule de Taylor avec reste intégral)

Soit f : I \to E une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur I. Alors pour tous a, x \in I : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\, dt

6.2 Inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème 6.2 — (Inégalité de Taylor-Lagrange)

Soit f : I \to E une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur I. Alors pour tous a, x \in I : \left\|f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right\| \leq \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \sup_{[a,x]} \|f^{(n+1)}\|

6.3 Formule de Taylor-Young

Théorème 6.3 — (Formule de Taylor-Young)

Soit f : I \to E une fonction n fois dérivable en a. Alors : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n)

Le résultat de Taylor-Young est local, contrairement aux autres résultats. Les hypothèses des résultats globaux sont plus fortes.

7 Méthode des rectangles et sommes de Riemann

Proposition 7.1 — (Méthode des rectangles)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue par morceaux. Alors : \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\, dt

Proposition 7.2 — (Sommes de Riemann)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue par morceaux. Alors : \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\, dt

8 Exercices

Exercice 8.1

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par f(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t).

  1. Calculer f'(t) et \|f'(t)\|.
  2. Déterminer la tangente à la courbe au point f(0).
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = \ln 2.

Exercice 8.2

Soit \gamma : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (\cos 2t, \sin 3t).

  1. Étudier la parité et la périodicité des composantes.
  2. Déterminer les points singuliers de l’arc.
  3. Calculer \gamma'(t) et déterminer la tangente en un point régulier.

Exercice 8.3

Soit f : [0, 1] \to \mathbb{R}^3 définie par f(t) = (t, t^2, t^3).

  1. Calculer f'(t) et f''(t).
  2. Montrer que l’arc est régulier.
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = 1 (on pourra donner une valeur approchée).

Exercice 8.4

Soient f, g : I \to \mathbb{R}^3 de classe \mathcal{C}^1. Montrer que : \frac{d}{dt}\langle f(t), g(t) \rangle = \langle f'(t), g(t) \rangle + \langle f(t), g'(t) \rangle

Exercice 8.5

Soit \gamma : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (t \cos t, t \sin t).

  1. Calculer \gamma'(t) et montrer que l’arc est régulier.
  2. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = 2\pi.
  3. Interpréter géométriquement la courbe (spirale d’Archimède).

Exercice 8.6

Soit \gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (3\cos t, 2\sin t).

  1. Montrer que l’arc décrit une ellipse.
  2. Calculer \gamma'(t) et déterminer les points où la tangente est horizontale.
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = \pi/2.

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Chapitre 04 : Fonctions vectorielles d’une variable réelle, arcs paramétrés