Intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 05. Fonctions continues par morceaux, intégrales généralisées sur [a,+\infty[, intégrabilité, intégrales généralisées sur un intervalle quelconque, intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, I désigne un intervalle de \mathbb{R}, et f, g désignent deux fonctions continues par morceaux sur I à valeurs dans \mathbb{K}.

1 Intégration sur un segment

1.1 Subdivision d’un segment

Définition 1.1 — (Subdivision)

Une subdivision du segment [a,b] est une suite finie (x_0, x_1, \ldots, x_n), où n \in \mathbb{N}^*, telle que : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b

Le pas de la subdivision est le réel \max_{i \in \{1, \ldots, n\}} (x_i - x_{i-1}).

La subdivision est dite régulière si la quantité x_i - x_{i-1} est constante. Dans ce cas, x_i = a + i \cdot \frac{b-a}{n} pour tout i \in \{0, 1, \ldots, n\}.

1.2 Continuité par morceaux

Définition 1.2 — (Continuité par morceaux sur un segment)

Soit f \in \mathcal{F}([a,b], \mathbb{K}). La fonction f est continue par morceaux sur [a,b] si :

  1. Il existe une subdivision \pi = (x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}} de [a,b] telle que pour tout i \in \{0, \ldots, n-1\}, la restriction f|_{]x_i, x_{i+1}[} est continue.
  2. f admet des limites finies à droite et à gauche en tout point de [a,b].

Définition 1.3 — (Continuité par morceaux sur un intervalle)

Soit f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{K}). La fonction f est continue par morceaux sur I si pour tout (x, y) \in I^2 tel que x < y, la fonction f est continue par morceaux sur [x, y].

Proposition 1.1 — (Structure)

L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a,b] est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de [a,b] dans \mathbb{K}, stable par multiplication et par passage à la valeur absolue.

Proposition 1.2 — (Caractère borné)

Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] est bornée et possède donc une norme infinie \|f\|_\infty.

1.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Théorème 1.1 — (Existence de l’intégrale)

Il existe une application de \mathcal{CM}([a,b], \mathbb{K}) dans \mathbb{K}, notée f \mapsto \int_{[a,b]} f, telle que pour toutes fonctions f et g continues par morceaux sur [a,b] :

  1. Si f est constante égale à c, alors \int_{[a,b]} f = c(b-a).
  2. Si f et g coïncident sauf en un nombre fini de points, alors \int_{[a,b]} f = \int_{[a,b]} g.
  3. Linéarité : L’application f \mapsto \int_{[a,b]} f est linéaire.
  4. Positivité : Si f \geq 0, alors \int_{[a,b]} f \geq 0.

1.4 Propriétés de l’intégrale

Proposition 1.3 — (Positivité stricte)

Soit f une fonction continue sur [a,b]. Si f est à valeurs positives, alors f \equiv 0 si et seulement si \int_a^b f(t)\, dt = 0.

Ce résultat est faux en général si la fonction est continue par morceaux.

Théorème 1.2 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soit (f, g) \in \mathcal{CM}([a,b], \mathbb{R})^2. Alors : \left|\int_{[a,b]} fg\right| \leq \sqrt{\int_{[a,b]} f^2} \cdot \sqrt{\int_{[a,b]} g^2}

De plus, lorsque f et g sont continues sur [a,b], il y a égalité si et seulement si f et g sont colinéaires.

Théorème 1.3 — (Théorème fondamental du calcul intégral)

Soit f une fonction continue sur I et a \in I. La fonction : F(x) = \int_a^x f(t)\, dt est une primitive de f sur I. C’est l’unique primitive de f qui s’annule en a. De plus, pour toute primitive G de f sur I : G(x) = G(a) + \int_a^x f(t)\, dt

1.5 Inégalité des accroissements finis et formules de Taylor

Théorème 1.4 — (Inégalité des accroissements finis)

Si f est de classe \mathcal{C}^1 sur le segment [a,b], alors : \|f(b) - f(a)\| \leq (b-a) \sup_{[a,b]} \|f'\|

Théorème 1.5 — (Formule de Taylor avec reste intégral)

Pour une fonction f de classe \mathcal{C}^{n+1} sur [a,b], la formule de Taylor à l’ordre n avec reste sous forme d’intégrale s’écrit : f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\, dt

Théorème 1.6 — (Inégalité de Taylor-Lagrange)

Pour une fonction f de classe \mathcal{C}^{n+1} sur [a,b] : \left|f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right| \leq \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \sup_{[a,x]} \|f^{(n+1)}\|

1.6 Intégration par parties et changement de variable

Théorème 1.7 — (Intégration par parties)

Soient u, v \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{K}) et a, b \in I. Alors : \int_a^b u'(t) v(t)\, dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\, dt

Théorème 1.8 — (Changement de variable)

Si \varphi est de classe \mathcal{C}^1 sur I et si f est continue sur \varphi(I), alors pour tous a et b dans I : \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\, dx = \int_a^b f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, dt

Un changement de variable affine permet d’exploiter la périodicité et les symétries, ou pour se ramener au cas où l’intervalle d’intégration est [0,1] ou [-1,1].

1.7 Sommes de Riemann

Proposition 1.4 — (Sommes de Riemann)

Si f : [a,b] \to \mathbb{R} est continue, alors : \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\, dt

2 Intégrales généralisées

2.1 Définition sur un intervalle quelconque

Définition 2.1 — (Convergence d’une intégrale généralisée)

Soit f \in \mathcal{CM}(I, \mathbb{K}) où I est un intervalle d’extrémités a et b avec -\infty \leq a < b \leq +\infty.

  1. Si I = [a, b[ : L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\, dt converge si x \mapsto \int_a^x f(t)\, dt possède une limite finie lorsque x \to b^-. On note alors : \int_a^b f(t)\, dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\, dt

  2. Si I = ]a, b] : L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\, dt converge si x \mapsto \int_x^b f(t)\, dt possède une limite finie lorsque x \to a^+.

  3. Si I = ]a, b[ : L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\, dt converge s’il existe c \in ]a,b[ tel que \int_a^c f(t)\, dt et \int_c^b f(t)\, dt soient convergentes. On pose alors : \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^c f(t)\, dt + \int_c^b f(t)\, dt

Sinon, on dit que l’intégrale diverge.

2.2 Intégrales de référence

Proposition 2.1 — (Intégrales de Riemann sur \boldsymbol{[1, +\infty[})

\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1. Alors : \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}

Proposition 2.2 — (Intégrales de Riemann sur \boldsymbol{]0, 1]})

\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha < 1. Alors : \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{1-\alpha}

Proposition 2.3 — (Fonction exponentielle)

\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt converge si et seulement si \alpha > 0. Alors : \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt = \frac{1}{\alpha}

Proposition 2.4 — (Fonction logarithme)

\int_0^1 \ln(t)\, dt converge. De plus : \int_0^1 \ln(t)\, dt = -1

2.3 Propriétés des intégrales généralisées

Proposition 2.5 — (Intégrale faussement impropre)

Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment [a,b]. Alors les intégrales de f sur [a,b], ]a,b], ]a,b[ et [a,b[ sont égales.

Proposition 2.6 — (Linéarité)

Soit \lambda \in \mathbb{K}. Si \int_a^b f(t)\, dt et \int_a^b g(t)\, dt convergent, alors \int_a^b (f(t) + \lambda g(t))\, dt converge et : \int_a^b (f(t) + \lambda g(t))\, dt = \int_a^b f(t)\, dt + \lambda \int_a^b g(t)\, dt

Proposition 2.7 — (Relation de Chasles)

On suppose que \int_a^b f(t)\, dt converge et c \in ]a,b[. Alors \int_a^c f(t)\, dt et \int_c^b f(t)\, dt convergent et : \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^c f(t)\, dt + \int_c^b f(t)\, dt

2.4 Fonctions à valeurs réelles

Proposition 2.8 — (Positivité)

Si f \geq 0 sur I et si \int_a^b f(t)\, dt converge, alors : \int_a^b f(t)\, dt \geq 0

Proposition 2.9 — (Croissance)

Si f \leq g sur I et si les deux intégrales convergent, alors : \int_a^b f(t)\, dt \leq \int_a^b g(t)\, dt

3 Convergence absolue et intégrabilité

3.1 Convergence absolue

Définition 3.1 — (Convergence absolue)

L’intégrale \int_a^b f(t)\, dt est absolument convergente si l’intégrale \int_a^b |f(t)|\, dt est convergente.

Théorème 3.1 — (Absolue convergence implique convergence)

Si l’intégrale \int_a^b f(t)\, dt est absolument convergente, alors elle est convergente. La fonction f est alors intégrable sur I.

Théorème 3.2 — (Inégalité triangulaire)

Si \int_a^b f(t)\, dt est absolument convergente, alors : \left|\int_a^b f(t)\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\, dt

3.2 Théorème de comparaison

Théorème 3.3 — (Théorème de comparaison)

Soient f, g \in \mathcal{CM}(I, \mathbb{K}) avec I = [a, b[. On suppose que g est intégrable sur I.

  1. Comparaison par domination : Si |f(t)| \leq |g(t)| au voisinage de b, alors f est intégrable sur I.
  2. Comparaison par négligeabilité : Si f(t) = O_b(g(t)), alors f est intégrable sur I.
  3. Comparaison par équivalence : Si f(t) \sim_b g(t), alors f est intégrable sur I si et seulement si g est intégrable sur I.

4 Méthodes de calculs

4.1 Primitives

Théorème 4.1 — (Primitive)

Soit f une fonction continue sur [a, b[ possédant une primitive F. Alors \int_a^b f(t)\, dt converge si et seulement si F possède une limite finie en b. Si ces propriétés sont vérifiées : \int_a^b f(t)\, dt = \lim_{x \to b^-} F(x) - F(a)

4.2 Intégration par parties

Théorème 4.2 — (Intégration par parties)

Soient f et g deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I. Si la fonction fg a une limite finie en a et en b, alors les intégrales \int_a^b f'(t)g(t)\, dt et \int_a^b f(t)g'(t)\, dt sont de même nature. Si ces quantités sont convergentes, en notant : [f(t)g(t)]_a^b = \lim_{x \to b^-} (f(x)g(x)) - \lim_{x \to a^+} (f(x)g(x)) on obtient la relation : \int_a^b f'(t)g(t)\, dt = [f(t)g(t)]_a^b - \int_a^b f(t)g'(t)\, dt

4.3 Fonction Gamma d’Euler

Exemple 4.1 — (Fonction Gamma d’Euler)

Pour tout nombre réel x > 0, on pose : \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt

Étude de la convergence. L’intégrale présente deux points singuliers : 0 et +\infty. On la décompose en \int_0^1 + \int_1^{+\infty}.

  • Au voisinage de +\infty : Pour tout x \in \mathbb{R}, par croissance comparée, t^{x-1} e^{-t} = o(t^{-2}) quand t \to +\infty. L’intégrale de Riemann \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} converge, donc \int_1^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt converge.

  • Au voisinage de 0^+ : t^{x-1} e^{-t} \sim t^{x-1} quand t \to 0^+. L’intégrale \int_0^1 t^\alpha\, dt converge si et seulement si \alpha > -1. Ici \alpha = x - 1, donc convergence si et seulement si x > 0.

Conclusion : \Gamma(x) est bien définie pour tout x > 0.

Relation fonctionnelle. Par intégration par parties : \Gamma(x+1) = x\Gamma(x)

Valeurs particulières. \Gamma(1) = 1. Par récurrence immédiate : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \Gamma(n+1) = n!

5 Espaces fonctionnels

5.1 Définitions

Définition 5.1 — (\boldsymbol{\mathcal{L}^1} et \boldsymbol{\mathcal{L}^2})

  1. L’ensemble des fonctions continues par morceaux intégrables sur I, à valeurs dans \mathbb{K}, est noté \mathcal{L}^1(I, \mathbb{K}).
  2. L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I, à valeurs dans \mathbb{K}, de carré intégrable (c’est-à-dire pour lesquelles |f|^2 est intégrable sur I) est noté \mathcal{L}^2(I, \mathbb{K}).

Théorème 5.1 — (Structure d’espace vectoriel)

\mathcal{L}^1(I, \mathbb{K}) et \mathcal{L}^2(I, \mathbb{K}) sont des \mathbb{K}-espaces vectoriels.

6 Exercices

Exercice 6.1

  1. Donner des exemples de fonctions continues par morceaux.
  2. Montrer que toute fonction continue par morceaux est bornée. Ses bornes sont-elles nécessairement atteintes ?
  3. Montrer que la fonction définie sur \mathbb{R}^+ par f(x) = x \lfloor 1/x \rfloor si x \neq 0 et f(0) = 1 n’est pas continue par morceaux sur \mathbb{R}^+.

Exercice 6.2

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \int_0^1 \sqrt{1 - t^2}\, dt
  2. \int_1^3 \frac{dt}{t\sqrt{t^2 - 1}}

Exercice 6.3

  1. Montrer que \int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1.
  2. Montrer que si f est continue par morceaux, positive et décroissante sur \mathbb{R}^+, alors : \int_0^{+\infty} f(x)\, dx \text{ converge} \iff \sum f(n) \text{ converge}

Exercice 6.4

Montrer que \int_0^1 t \ln(t)\, dt est convergente.

Exercice 6.5

Étudier l’intégrabilité des fonctions suivantes :

  1. t \mapsto \frac{\sin(t)}{t^2} sur [1, +\infty[
  2. t \mapsto t\cos(t) et t \mapsto \frac{1}{t} sur ]0, +\infty[
  3. t \mapsto \frac{1}{1-t^2} sur [0, 1[

Exercice 6.6 — (Fonction Gamma d’Euler)

Pour tout nombre réel x > 0, on pose \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt.

  1. Montrer que \Gamma(x) est bien définie pour tout x > 0.
  2. Montrer que \Gamma(x+1) = x\Gamma(x).
  3. En déduire que \Gamma(n+1) = n! pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 6.7

  1. Déterminer une fonction f qui appartienne à \mathcal{L}^1(]0, 1], \mathbb{R}) mais pas à \mathcal{L}^2(]0, 1], \mathbb{R}).
  2. Déterminer une fonction f qui appartienne à \mathcal{L}^2([1, +\infty[, \mathbb{R}) mais pas à \mathcal{L}^1([1, +\infty[, \mathbb{R}).

Exercice 6.8

Étudier la convergence de \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt (semi-convergence).

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Chapitre 05 : Intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle