Séries numériques

Chapitre 06

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 06. Convergence et divergence, séries géométriques, séries à termes positifs, théorèmes de comparaison, règle de d’Alembert, séries de Riemann, séries alternées (Leibniz), convergence absolue.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Définitions fondamentales

1.1 Séries numériques

Définition 1.1 — (Série numérique)

Soit (u_n)_{n \geq n_0} une suite d’éléments de \mathbb{K}. On appelle série numérique de terme général u_n la suite (S_n)_{n \geq n_0} définie par : S_n = \sum_{k=n_0}^n u_k

On la note \sum u_n ou \sum_{n \geq n_0} u_n. S_n est appelé la somme partielle de rang n de la série.

Définition 1.2 — (Convergence et divergence)

  1. On dit que la série \sum u_n converge si la suite (S_n)_{n \geq n_0} converge vers une limite finie S \in \mathbb{K}. On note alors : S = \sum_{k=n_0}^{+\infty} u_k = \lim_{n \to +\infty} S_n et S est appelée la somme de la série.

  2. Sinon, on dit que la série diverge.

Définition 1.3 — (Reste d’une série convergente)

Si la série \sum u_n converge et si S est sa somme, on note : R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k = S - S_n le reste de la série \sum u_n. On a R_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.

1.2 Divergence grossière

Proposition 1.1 — (Condition nécessaire de convergence)

Si la série \sum u_n converge, alors : \lim_{n \to +\infty} u_n = 0

Preuve. Pour tout n \geq 1, on a u_n = S_n - S_{n-1}. Si (S_n) converge vers S, alors (S_{n-1}) converge aussi vers S. Par linéarité de la limite : \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (S_n - S_{n-1}) = S - S = 0

La contraposée de ce résultat est souvent utilisée :

Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 ne peut pas converger.

Par exemple les séries \sum_{k \geq 1} \left(1 + \frac{1}{k}\right) et \sum_{k \geq 1} k^2 sont divergentes.

Exemple 1.1

La série \sum u_k de terme général : u_k = \begin{cases} 1 & \text{si } k = 2^\ell \text{ pour un certain } \ell \geq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} diverge. En effet, même si les termes valant 1 sont très rares, il y en a quand même une infinité !

1.3 Linéarité

Proposition 1.2 — (Linéarité)

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries convergentes de sommes respectives U et V. Alors pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{K}, la série \sum (\lambda u_n + \mu v_n) converge et : \sum_{n=0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) = \lambda U + \mu V

Exemple 1.2

\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2^k} + \frac{5}{3^k}\right) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} + 5\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{3^k} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} + 5 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = 2 + 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{19}{2}

2 Séries géométriques

Proposition 2.1 — (Série géométrique)

Soit q \in \mathbb{C}. La série géométrique \sum_{k \geq 0} q^k est convergente si et seulement si |q| < 1. On a alors : \sum_{k=0}^{+\infty} q^k = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots = \frac{1}{1-q}

Preuve. Considérons S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n.

  • Si q = 1 : S_n = n + 1 \to +\infty, la série diverge.
  • Si q \neq 1 : S_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.
    • Si |q| < 1 : q^{n+1} \to 0, donc S_n \to \frac{1}{1-q}.
    • Si |q| \geq 1 : q^{n+1} ne tend pas vers 0, donc la série diverge.

Exemple 2.1

  1. \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}
  2. \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{3^{n+3}} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{18}
  3. \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{4}\right)^k = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}

3 Séries à termes positifs

3.1 Convergence par les sommes partielles

Proposition 3.1 — (Convergence d’une série à termes positifs)

Une série \sum u_n à termes positifs (c’est-à-dire u_n \geq 0 pour tout n) est convergente si et seulement si la suite (S_n) des sommes partielles est majorée.

Les deux situations convergence/divergence sont possibles : \sum_{k \geq 0} q^k converge si 0 < q < 1, et diverge si q \geq 1.

3.2 Séries de Riemann

Proposition 3.2 — (Séries de Riemann)

Soit \alpha > 0. La série \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1.

Exemple 3.1

  1. \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^2} converge (car \alpha = 2 > 1).
  2. \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k} diverge (série harmonique, \alpha = 1).
  3. \sum_{k \geq 1} \frac{1}{\sqrt{k}} diverge (car \alpha = \frac{1}{2} < 1).

3.3 Théorème de comparaison

Théorème 3.1 — (Théorème de comparaison)

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes positifs ou nuls. On suppose qu’il existe n_0 \geq 0 tel que, pour tout n \geq n_0, u_n \leq v_n.

  • Si \sum v_n converge alors \sum u_n converge.
  • Si \sum u_n diverge alors \sum v_n diverge.

Preuve. Comme la convergence ne dépend pas des premiers termes, on peut supposer n_0 = 0. Notons S_n = u_0 + \cdots + u_n et S'_n = v_0 + \cdots + v_n. Les suites (S_n) et (S'_n) sont croissantes, et S_n \leq S'_n. Si \sum v_n converge, alors (S'_n) converge vers S'. La suite (S_n) est croissante et majorée par S', donc elle converge. Inversement, si \sum u_n diverge, alors (S_n) \to +\infty, et comme S'_n \geq S_n, (S'_n) \to +\infty.

Exemple 3.2

La série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1} converge car \frac{1}{n^2 + 1} \leq \frac{1}{n^2} et \sum \frac{1}{n^2} converge.

3.4 Comparaison par équivalence

Théorème 3.2 — (Théorème des équivalents)

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes positifs ou nuls. Si u_n \sim v_n (c’est-à-dire \frac{u_n}{v_n} \to 1), alors les deux séries sont de même nature.

Exemple 3.3

La série \sum_{k \geq 1} \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{k^3}}\right) converge car : \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{k^3}}\right) \sim \frac{1}{\sqrt{k^3}} = \frac{1}{k^{3/2}} et la série de Riemann \sum \frac{1}{k^{3/2}} converge (car \frac{3}{2} > 1).

3.5 Règle de d’Alembert

Théorème 3.3 — (Règle du quotient de d’Alembert)

Soit \sum u_n une série à termes positifs non nuls.

  1. S’il existe une constante 0 < q < 1 et un entier n_0 tels que, pour tout n \geq n_0 : \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| \leq q < 1 alors la série \sum u_n converge (elle est même absolument convergente).

  2. S’il existe un entier n_0 tel que, pour tout n \geq n_0 : \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| \geq 1 alors la série \sum u_n diverge.

Proposition 3.3 — (Règle de d’Alembert avec limite)

Soit \sum u_n une série à termes positifs non nuls telle que la suite \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) admette une limite \ell \in [0, +\infty].

  • Si \ell < 1 : la série converge.
  • Si \ell > 1 : la série diverge.
  • Si \ell = 1 : on ne peut pas conclure.

Exemple 3.4

Pour \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} : \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} = \frac{x}{n+1} \to 0 Donc la série converge pour tout x \in \mathbb{R}.

Exemple 3.5 — (Règle des racines de Cauchy)

Soit \sum u_n une série à termes positifs telle que \sqrt[n]{u_n} \to \ell.

  • Si \ell < 1 : la série converge.
  • Si \ell > 1 : la série diverge.
  • Si \ell = 1 : on ne peut pas conclure.

4 Comparaison série/intégrale

Théorème 4.1 — (Théorème de comparaison série/intégrale)

Soit f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ une fonction continue, positive et décroissante. Alors : \int_0^{n+1} f(t)\, dt \leq \sum_{k=0}^n f(k) \leq f(0) + \int_0^n f(t)\, dt

En particulier, la série \sum f(k) et l’intégrale \int_0^{+\infty} f(t)\, dt sont de même nature.

Exemple 4.1

La série harmonique \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} diverge car \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} = +\infty.

La série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} converge car \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} = 1.

5 Séries alternées

5.1 Critère de Leibniz

Définition 5.1 — (Série alternée)

Soit (u_n)_{n \geq 0} une suite qui vérifie u_n \geq 0. La série \sum_{n \geq 0} (-1)^n u_n s’appelle une série alternée.

Théorème 5.1 — (Critère de Leibniz)

Soit (u_n)_{n \geq 0} une suite qui vérifie :

  1. u_n \geq 0 pour tout n \geq 0,
  2. La suite (u_n) est décroissante,
  3. \lim_{n \to +\infty} u_n = 0.

Alors la série alternée \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n u_n converge.

Preuve. Nous allons nous ramener à deux suites adjacentes.

  • La suite (S_{2n+1}) est croissante car S_{2n+1} - S_{2n-1} = u_{2n} - u_{2n+1} \geq 0.
  • La suite (S_{2n}) est décroissante car S_{2n} - S_{2n-2} = -u_{2n-1} + u_{2n} \leq 0.
  • S_{2n+1} - S_{2n} = -u_{2n+1} \leq 0, donc S_{2n+1} \leq S_{2n}.
  • S_{2n+1} - S_{2n} = -u_{2n+1} \to 0.

En conséquence (S_{2n+1}) et (S_{2n}) convergent vers la même limite S.

Exemple 5.1 — (Série harmonique alternée)

La série \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots converge par le critère de Leibniz. On admet que sa somme est \ln 2.

Corollaire 5.1 — (Encadrement de la somme et majoration du reste)

Si la série alternée \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k converge vers S, alors :

  1. S est comprise entre deux sommes partielles consécutives : S_{2n} \leq S \leq S_{2n+1}.
  2. Le reste vérifie : |R_n| = |S - S_n| \leq u_{n+1}.

5.2 Contre-exemples

On ne peut pas laisser tomber la condition de décroissance de la suite (u_k) dans le critère de Leibniz. Il n’est pas non plus possible de remplacer u_k par un équivalent à l’infini, car la décroissance n’est pas conservée par équivalence.

Exemple 5.2 — (Séries alternées convergentes et divergentes)

Voici deux séries alternées : \sum_{k \geq 2} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \quad \text{converge} \sum_{k \geq 2} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k} + (-1)^k} \quad \text{diverge}

6 Séries absolument convergentes

6.1 Définition et propriétés

Définition 6.1 — (Convergence absolue)

On dit qu’une série \sum u_n de nombres réels (ou complexes) est absolument convergente si la série \sum |u_n| est convergente.

On dit que la série \sum u_n est semi-convergente si elle converge mais pas absolument.

Exemple 6.1

  1. La série \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k}{k^2} est absolument convergente car |\cos k / k^2| \leq 1/k^2 et \sum 1/k^2 converge.

  2. La série harmonique alternée \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} est convergente mais pas absolument convergente, car \sum \frac{1}{k+1} diverge.

Théorème 6.1 — (Convergence absolue implique convergence)

Toute série absolument convergente est convergente. De plus : \left|\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\right| \leq \sum_{n=n_0}^{+\infty} |u_n|

6.2 Produit de Cauchy

Définition 6.2 — (Produit de Cauchy)

Soient \sum_{n \geq 0} a_n et \sum_{n \geq 0} b_n deux séries numériques. On appelle produit de Cauchy de ces deux séries la série \sum_{n \geq 0} c_n où : c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

Une autre façon d’écrire c_n est : c_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j.

Théorème 6.2 — (Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes)

Si les séries \sum_{i=0}^{+\infty} a_i et \sum_{j=0}^{+\infty} b_j sont absolument convergentes, alors la série produit \sum_{k=0}^{+\infty} c_k est absolument convergente et : \sum_{k=0}^{+\infty} c_k = \left(\sum_{i=0}^{+\infty} a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^{+\infty} b_j\right)

Exemple 6.2 — (Application à la fonction exponentielle)

On admet que pour x \in \mathbb{R}, la série \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} converge et vaut e^x.

Le produit de Cauchy de \exp(a) \times \exp(b) donne : c_n = \sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!} \cdot \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a+b)^n}{n!}

Donc : e^a \cdot e^b = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} = e^{a+b}

7 Exercices

Exercice 7.1

Calculer les sommes partielles S_n de la série dont le terme général est \frac{1}{4^k}, commençant à k=1. Cette série est-elle convergente ? Si c’est possible, calculer la somme S et les restes R_n.

Exercice 7.2

Mêmes questions avec \sum_{k \geq 0} (-1)^k, \sum_{k \geq 0} 3^k, \sum_{k \geq 1} \frac{1}{10^k}, \sum_{k \geq 2} e^{-k}.

Exercice 7.3

Pourquoi les séries suivantes sont-elles divergentes ? \sum_{k \geq 1} \left(\frac{1}{k} + (-1)^k\right), \quad \sum_{k \geq 0} \frac{k}{k+1}, \quad \sum_{k \geq 1} \frac{1}{2k}, \quad \sum_{k \geq 1} k\cos(k), \quad \sum_{k \geq 1} e^{1/k}

Exercice 7.4

Étudier les séries dont voici le terme général, par la règle du quotient de d’Alembert ou des racines de Cauchy : \frac{k^{100}}{k!}, \quad \frac{k!}{(2k)!}, \quad \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2k+1)}

Exercice 7.5

Est-ce que les séries suivantes sont convergentes ? Absolument convergentes ? \sum_{k \geq 2} \frac{(-1)^{k^3} e^{ik}}{k^2+k}, \quad \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k(k+1)}}, \quad \sum_{k \geq 1} \frac{\sqrt{k}}{(-1)^k \ln k}

Exercice 7.6

Montrer que \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 q^k = \frac{q^2 + q}{(1-q)^3} pour |q| < 1.

Exercice 7.7

Écrire la série associée au développement décimal 0{,}99999\ldots Notons S la somme de cette série. Calculer la série correspondant à 10 \cdot S. Simplifier 10 \cdot S - S. En déduire S. Retrouver cette valeur S à l’aide d’une série géométrique.

Exercice 7.8

Justifier que la série \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k^2 - 1} est convergente. Décomposer \frac{1}{k^2 - 1} en éléments simples. En déduire la somme de la série.

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Chapitre 06 : Séries numériques