Séries entières

Chapitre 07

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 07. Rayon de convergence (lemme d’Abel), somme d’une série entière d’une variable réelle, propriétés de la somme (continuité, dérivation, intégration terme à terme), fonctions développables en série entière, développements usuels.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Pour tout r \in \mathbb{R}^+ \cup \{+\infty\}, on pose D(0, r) = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < r\}. Si 0 < r < +\infty, D(0,r) est le disque ouvert de centre 0 et de rayon r. Par abus de langage, on dira que \mathbb{C} est le disque ouvert de rayon +\infty.

1 Rayon de convergence

1.1 Notion de série entière

Définition 1.1 — (Série entière)

Soit (a_n)_{n \geq 0} une suite de nombres complexes (ou réels). On appelle série entière associée à (a_n) la série de fonctions : \sum_{n \geq 0} a_n z^n où z est une variable complexe (ou réelle).

Les coefficients a_n sont appelés les coefficients de la série entière.

  1. La suite (a_n) peut n’être définie qu’à partir du rang n_0. On note alors \sum_{n \geq n_0} a_n z^n la série entière correspondante.
  2. Si z est fixé, on a affaire à une série numérique.
  3. Un exemple déjà rencontré est la somme géométrique.

Les sommes partielles de cette série de fonctions sont des fonctions polynomiales : S_n : \begin{cases} \mathbb{C} \to \mathbb{C} \\ z \mapsto \sum_{k=0}^n a_k z^k \end{cases}

Les fonctions polynomiales sont des cas particuliers de séries entières.

Exemple 1.1

  1. \sum_{n \geq 0} z^n est une série géométrique qui converge pour |z| < 1, et sa somme est : S : \begin{cases} D(0,1) \to \mathbb{C} \\ z \mapsto \frac{1}{1-z} \end{cases}

  2. \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} converge pour tout z \in \mathbb{C}, et sa somme est la fonction exponentielle : S : \begin{cases} \mathbb{C} \to \mathbb{C} \\ z \mapsto \exp(z) \end{cases}

1.2 Lemme d’Abel

Théorème 1.1 — (Lemme d’Abel)

Soit \sum_{n \geq 0} a_n z^n une série entière et \rho \geq 0. On suppose que la suite (a_n \rho^n)_{n \geq 0} est bornée. Alors pour tout z \in \mathbb{C} tel que |z| < \rho, la série numérique \sum_{n \geq 0} a_n z^n converge absolument.

Preuve. Supposons que |a_n \rho^n| \leq M pour tout n \geq 0. Pour z \in D(0, \rho) avec \rho \neq 0 : |a_n z^n| = |a_n \rho^n| \cdot \left|\frac{z}{\rho}\right|^n \leq M \left|\frac{z}{\rho}\right|^n Comme \left|\frac{z}{\rho}\right| < 1, la série géométrique \sum \left|\frac{z}{\rho}\right|^n converge. Par le critère de comparaison, \sum |a_n z^n| converge.

1.3 Rayon de convergence

Définition 1.2 — (Rayon de convergence)

On appelle rayon de convergence de la série entière \sum_{n \geq 0} a_n z^n la borne supérieure (dans \mathbb{R}) des réels positifs \rho \geq 0 tels que la suite (a_n \rho^n)_{n \geq 0} soit bornée : R = \sup\{\rho \geq 0 \mid (a_n \rho^n) \text{ est bornée}\}

Le disque D(0, R) est appelé disque de convergence.

  1. Le rayon de convergence est bien défini. En effet, si A = \{\rho \geq 0 \mid (a_n \rho^n) \text{ est bornée}\}, alors 0 \in A donc A est non vide. Si A est majoré, il possède une borne supérieure dans \mathbb{R}. Si A n’est pas majoré, sa borne supérieure dans \mathbb{R} est +\infty.
  2. Si R > 0 est le rayon de convergence, alors pour tout \rho < R, a_n \rho^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.

Théorème 1.2 — (Existence du rayon de convergence)

Soit \sum_{n \geq 0} a_n z^n une série entière de rayon de convergence R. Alors :

  1. Si |z| < R, la série \sum a_n z^n converge absolument.
  2. Si |z| > R, la série \sum a_n z^n diverge.

Exemple 1.2

  1. La série entière \sum z^n a pour rayon de convergence R = 1.
  2. La série entière \sum \frac{z^n}{n!} a pour rayon de convergence R = +\infty.
  3. La série entière \sum n! \, z^n a pour rayon de convergence R = 0.
  4. La série entière \sum n^\alpha z^n (avec \alpha \in \mathbb{R}) a pour rayon de convergence R = 1.

1.4 Modes de convergence

Théorème 1.3 — (Modes de convergence d’une série entière)

Soit \sum_{n \geq 0} a_n z^n une série entière de rayon de convergence R. Alors la série de fonctions \sum f_n (où f_n(z) = a_n z^n) :

  1. Converge absolument sur le disque de convergence D(0, R).
  2. Converge normalement sur tout compact K inclus dans le disque de convergence (en pratique, sur tout disque fermé \overline{D}(0, r) avec r < R).

Preuve. Soit un compact K \subset D(0, R). Puisque z \mapsto |z| est continue sur le compact K, elle est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc r \in [0, R[ tel que K \subset \overline{B}(0, r) \subset D(0, R).

Comme r < R, la série numérique \sum |a_n| r^n converge. Mais alors : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \sup_{z \in K} |a_n z^n| \leq |a_n| r^n Donc la série numérique \sum \|f_n\|_{\infty, K} converge.

2 Calcul du rayon de convergence

2.1 Comparaison des rayons

Théorème 2.1 — (Comparaison des rayons)

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence R_a et R_b. Si, à partir d’un certain rang : |a_n| \leq |b_n| alors R_a \geq R_b.

Proposition 2.1 — (Équivalence)

Si |a_n| \sim_{n \to +\infty} |b_n|, alors les deux séries entières ont même rayon de convergence : R_a = R_b

2.2 Règle de d’Alembert

Proposition 2.2 — (Règle de d’Alembert)

Soit \sum a_n z^n une série entière telle que, à partir d’un certain rang N, a_n \neq 0 et la suite \left(\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\right) admet une limite \ell \in [0, +\infty]. Alors le rayon de convergence vaut : R = \frac{1}{\ell} avec les conventions \frac{1}{0} = +\infty et \frac{1}{+\infty} = 0.

Exemple 2.1

Pour \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} : \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0 Donc R = +\infty.

Exemple 2.2

Pour \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n} : \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{n}{n+1} \to 1 Donc R = 1.

Pour déterminer le rayon de convergence d’une série entière \sum a_n z^n :

  1. Chercher un équivalent plus simple de |a_n|. Si |a_n| \sim_{n \to +\infty} |b_n|, les séries entières \sum a_n z^n et \sum b_n z^n ont même rayon de convergence.
  2. Si la suite (a_n) ne s’annule pas et si a_n est formé de produits, exponentielles, factorielles, essayer la règle de d’Alembert. Si elle ne s’applique pas, on ne peut rien conclure encore !
  3. Utiliser des majorations-minorations simples de |a_n|.

3 Opérations sur les séries entières

3.1 Somme de deux séries entières

Définition 3.1 — (Somme de deux séries entières)

Soient deux séries entières \sum a_n z^n et \sum b_n z^n. On appelle somme de ces deux séries entières, la série entière \sum (a_n + b_n) z^n.

Théorème 3.1 — (Rayon de convergence d’une somme)

On note R_a et R_b les rayons de convergence des séries entières \sum a_n z^n et \sum b_n z^n et R_{a+b} le rayon de convergence de la série entière \sum (a_n + b_n) z^n. Alors :

  1. R_{a+b} \geq \min(R_a, R_b).
  2. Si R_a \neq R_b, alors R_{a+b} = \min(R_a, R_b).
  3. Pour |z| < \min(R_a, R_b) : S_{a+b}(z) = S_a(z) + S_b(z)

3.2 Produit de Cauchy

Définition 3.2 — (Produit de Cauchy)

Soient deux séries entières \sum a_n z^n et \sum b_n z^n. On appelle produit de Cauchy de ces deux séries entières la série entière \sum c_n z^n où : c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

Théorème 3.2 — (Rayon de convergence du produit de Cauchy)

En notant R_a, R_b et R_{ab} les rayons de convergence des deux séries entières et de leur produit de Cauchy, et S_a, S_b et S_{ab} les fonctions sommes :

  1. R_{ab} \geq \min(R_a, R_b).
  2. Pour tout z \in \mathbb{C} avec |z| < \min(R_a, R_b) : S_{ab}(z) = S_a(z) \times S_b(z)

Corollaire 3.1 — (Propriété de l’exponentielle complexe)

Pour (z, z') \in \mathbb{C}^2 : \exp(z + z') = \exp(z) \times \exp(z')

3.3 Série entière dérivée et primitive

Définition 3.3 — (Série entière dérivée)

Soit une série entière \sum a_n z^n. On appelle série entière dérivée la série entière \sum_{n \geq 1} n a_n z^{n-1} ou encore \sum_{n \geq 0} (n+1) a_{n+1} z^n.

Théorème 3.3 — (Rayon de convergence de la série dérivée)

Les séries entières \sum a_n z^n et \sum_{n \geq 1} n a_n z^{n-1} ont même rayon de convergence : R = R'

Définition 3.4 — (Série entière primitive)

Soit une série entière \sum a_n z^n. On appelle série entière primitive la série entière \sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} z^{n+1} ou encore \sum_{n \geq 1} \frac{a_{n-1}}{n} z^n.

Théorème 3.4 — (Rayon de convergence d’une série primitive)

Les séries entières \sum a_n z^n et \sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} z^{n+1} ont même rayon de convergence : R = \tilde{R}

4 Somme d’une série entière d’une variable réelle

4.1 Définition

Définition 4.1 — (Série entière d’une variable réelle)

Soit une série entière \sum a_n z^n où (a_n) \in \mathbb{C}^\mathbb{N}. On note R son rayon de convergence et on suppose R > 0. Pour x \in ]-R, R[, la série numérique \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n converge absolument. On définit alors la fonction d’une variable réelle : f : \begin{cases} ]-R, R[ \to \mathbb{C} \\ x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \end{cases}

4.2 Convergence normale sur tout segment

Théorème 4.1 — (Convergence normale sur tout segment)

Soit \sum a_n x^n une série entière d’une variable réelle de rayon de convergence R > 0. Alors \sum a_n x^n converge normalement sur tout segment inclus dans ]-R, R[.

Preuve. Soient [a, b] \subset ]-R, R[ et x \in [a, b]. Alors : \|a_n x^n\|_{\infty, [a,b]} = |a_n| r^n \leq |a_n| r^n où r = \max\{|a|, |b|\} < R. Donc \sum a_n r^n est absolument convergente (car r \in D(0, R)) et \sum a_n z^n est bien normalement convergente sur [a, b].

4.3 Continuité de la somme

Corollaire 4.1 — (Continuité de la somme)

La somme d’une série entière d’une variable réelle f(x) = \sum a_n x^n est continue sur ]-R, R[.

Preuve. C’est une conséquence directe de la convergence uniforme de \sum f_n sur tout segment de ]-R, R[.

4.4 Régularité de la somme

Théorème 4.2 — (Régularité de la somme)

Soit \sum a_n x^n une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et soit f : ]-R, R[ \to \mathbb{R} sa somme. Alors :

  1. La fonction f est de classe \mathcal{C}^\infty sur l’intervalle ouvert ]-R, R[.
  2. Pour tout p \in \mathbb{N}, la dérivée p-ième de f est : f^{(p)}(x) = \sum_{n=p}^{+\infty} n(n-1)\cdots(n-p+1) a_n x^{n-p} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n+p)!}{n!} a_{n+p} x^n

4.5 Intégration terme à terme

Proposition 4.1 — (Primitivation terme à terme)

Soit \sum a_n z^n une série entière de rayon de convergence R > 0. Alors pour tout x \in ]-R, R[ : \int_0^x f(t)\, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}

Preuve. Soit x \in ]-R, R[. Notons f_n(t) = a_n t^n.

  1. Pour tout n \in \mathbb{N}, f_n est continue sur [0, x].
  2. D’après le théorème précédent, \sum f_n converge uniformément sur [0, x].

Donc d’après le théorème d’intégration terme à terme, f est continue et intégrable sur [0, x]. De plus : F(x) = \int_0^x f(t)\, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^x f_n(t)\, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}

5 Fonctions développables en série entière

5.1 Définitions

Définition 5.1 — (Fonction développable en série entière)

Une fonction f définie au voisinage de 0 est dite développable en série entière en 0 s’il existe une série entière \sum a_n z^n de rayon de convergence R > 0 et un voisinage V de 0 tels que : \forall x \in V, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n

Proposition 5.1 — (Unicité)

Le développement en série entière d’une fonction, s’il existe, est unique.

Proposition 5.2 — (Parité et développement en série entière)

Soit f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n une fonction développable en série entière.

  1. Si f est paire, alors pour tout p \in \mathbb{N}, a_{2p+1} = 0.
  2. Si f est impaire, alors pour tout p \in \mathbb{N}, a_{2p} = 0.

Preuve. Il suffit de comparer f(-x) et f(x) puis d’utiliser l’unicité du développement en série entière.

5.2 Série de Taylor

Définition 5.2 — (Série de Taylor d’une fonction)

Soit f : ]-r, r[ \to \mathbb{C} une fonction définie sur un voisinage de 0. On suppose que f est de classe \mathcal{C}^\infty. On appelle série de Taylor de f la série entière : \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n

Si f est développable en série entière, alors sa série de Taylor a un rayon de convergence R > 0 et le développement de f est donné par cette série.

5.3 Développements usuels

Proposition 5.3 — (Développements en série entière usuels)

Les développements en série entière en 0 des fonctions usuelles sont :

  1. Exponentielle : e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}, \quad R = +\infty

  2. Sinus hyperbolique : \sinh t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty

  3. Cosinus hyperbolique : \cosh t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty

  4. Sinus : \sin t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty

  5. Cosinus : \cos t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty

  6. Arctangente : \arctan t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{2n+1}, \quad R = 1

  7. Logarithme : \ln(1+t) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^n}{n}, \quad R = 1

  8. Puissance : (1+t)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} t^n, \quad R = 1 (pour \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N})

  9. Géométrique : \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n, \quad R = 1

Exemple 5.1 — (Développement de \boldsymbol{\frac{1}{(1-x)^2}})

En dérivant terme à terme \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n, on obtient : \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}

6 Exercices

Exercice 6.1

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

  1. \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n^2}
  2. \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{2^n}
  3. \sum_{n \geq 1} n^3 z^n
  4. \sum_{n \geq 0} \frac{z^{2n}}{(2n)!}

Exercice 6.2

Calculer la somme des séries entières suivantes sur leur intervalle de convergence :

  1. \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n
  2. \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n
  3. \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}

Exercice 6.3

Montrer que la série entière \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} a un rayon de convergence infini et que sa somme est e^x.

Exercice 6.4

Déterminer le développement en série entière de \frac{1}{(1-x)^2} en utilisant le produit de Cauchy.

Exercice 6.5

Déterminer le développement en série entière de \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) pour |x| < 1.

Exercice 6.6

Soit f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n une série entière de rayon R > 0. Montrer que : \int_0^x f(t)\, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}

Exercice 6.7

En utilisant le développement en série entière de \arctan x, montrer que : \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}

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Chapitre 07 : Séries entières