Espaces probabilisés ; variables aléatoires réelles ; cas discret

Chapitre 08

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 08. Tribus, espaces probabilisés, variables aléatoires et lois, variables aléatoires discrètes, espérance et moments, fonctions génératrices, inégalités (Markov, Bienaymé-Tchebychev, Jensen), convergence en probabilité et en loi, loi faible des grands nombres.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, (\Omega, \mathcal{T}, P) désigne un espace probabilisé.

1 Espaces probabilisés

1.1 Expérience aléatoire, univers, événements

Définition 1.1 — (Expérience aléatoire)

La théorie des probabilités permet l’étude de phénomènes ayant un aspect hasardeux, ou aléatoire. On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat dépend du hasard. L’ensemble des issues (ou résultats observables) est appelé univers et noté \Omega.

Exemple 1.1

Parmi les cas les plus simples et usuels :

  1. Lancer une pièce de monnaie : \Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}.
  2. Lancer un dé à 6 faces : \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.
  3. Tirer une boule d’une urne contenant r boules rouges et v boules vertes : \Omega = \{\text{rouge}, \text{vert}\}.

1.2 Tribu

Définition 1.2 — (Événement, tribu)

Un événement est une partie de \Omega. Une tribu (ou \sigma-algèbre) \mathcal{T} sur \Omega est une partie de \mathcal{P}(\Omega) vérifiant :

  1. \Omega \in \mathcal{T}
  2. Si A \in \mathcal{T}, alors \overline{A} = \Omega \setminus A \in \mathcal{T}
  3. Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’éléments de \mathcal{T} : \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \in \mathcal{T}

Le couple (\Omega, \mathcal{T}) est appelé espace probabilisable.

Proposition 1.1 — (Propriétés d’une tribu)

Soit \mathcal{T} une tribu sur \Omega. Alors :

  1. \varnothing \in \mathcal{T}
  2. Pour toute suite finie (A_i)_{1 \leq i \leq n} d’éléments de \mathcal{T} : \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathcal{T} et \bigcap_{i=1}^n A_i \in \mathcal{T}
  3. Pour tout couple (A, B) \in \mathcal{T}^2 : A \setminus B \in \mathcal{T}

Exemple 1.2

Si \Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}, alors :

  1. \mathcal{T}_1 = \{\varnothing, \Omega\} est une tribu sur \Omega (tribu grossière).
  2. \mathcal{T}_2 = \{\varnothing, \Omega, \{\text{pile}\}, \{\text{face}\}\} est une tribu sur \Omega.
  3. \mathcal{T}_3 = \mathcal{P}(\Omega) est une tribu sur \Omega (tribu pleine).

1.3 Probabilité et espace probabilisé

Définition 1.3 — (Probabilité)

Soit (\Omega, \mathcal{T}) un espace probabilisable. Une probabilité sur (\Omega, \mathcal{T}) est une application P : \mathcal{T} \to [0,1] vérifiant :

  1. P(\Omega) = 1
  2. Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’événements deux à deux incompatibles : P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)

Le triplet (\Omega, \mathcal{T}, P) est appelé espace probabilisé.

Proposition 1.2 — (Propriétés des probabilités)

Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé. Alors :

  1. P(\varnothing) = 0
  2. P(\overline{A}) = 1 - P(A)
  3. Si A \subset B, alors P(A) \leq P(B) (croissance)
  4. P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Proposition 1.3 — (Formule de Poincaré)

Pour toute famille finie (A_k)_{1 \leq k \leq n} d’événements : P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n \left((-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k})\right)

Proposition 1.4 — (Inégalité de Boole)

P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \sum_{k=1}^n P(A_k) avec égalité si et seulement si les événements A_k sont incompatibles deux à deux.

1.4 Probabilités conditionnelles

Définition 1.4 — (Probabilité conditionnelle)

Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé et B un événement avec P(B) > 0. La probabilité de A sachant B est : P(A \mid B) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Théorème 1.1 — (Formule des probabilités composées)

Soit (A_k)_{1 \leq k \leq n} une famille d’événements telle que P\left(\bigcap_{k=1}^{n-1} A_k\right) \neq 0. Alors : P\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdot P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \cdots P_{A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_n)

Théorème 1.2 — (Formule des probabilités totales)

Soit (A_k)_{k \in I} un système complet d’événements de probabilités non nulles et B un événement. Alors : P(B) = \sum_{k \in I} P(B \mid A_k) \cdot P(A_k)

Théorème 1.3 — (Formule de Bayes)

Soit (A_k)_{k \in I} un système complet d’événements de probabilités non nulles et B un événement avec P(B) > 0. Alors pour tout j \in I : P(A_j \mid B) = \frac{P(B \mid A_j) \cdot P(A_j)}{\sum_{k \in I} P(B \mid A_k) \cdot P(A_k)}

1.5 Indépendance

Définition 1.5 — (Indépendance de deux événements)

Deux événements A et B sont indépendants si : P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Définition 1.6 — (Indépendance mutuelle)

Une famille (A_i)_{i \in I} d’événements est mutuellement indépendante si pour toute partie finie J \subset I : P\left(\bigcap_{i \in J} A_i\right) = \prod_{i \in J} P(A_i)

L’indépendance deux à deux n’implique pas l’indépendance mutuelle si n > 2.

Proposition 1.5

Si A et B sont indépendants, alors A et \overline{B} sont indépendants, \overline{A} et B sont indépendants, \overline{A} et \overline{B} sont indépendants.

2 Variables aléatoires réelles

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Variable aléatoire réelle)

Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle est une application X : \Omega \to \mathbb{R} telle que pour tout x \in \mathbb{R} : X^{-1}(]-\infty, x]) \in \mathcal{T}

On utilise les notations suivantes :

  • (X \in A) ou \{X \in A\} à la place de X^{-1}(A)
  • (X \leq x) à la place de X^{-1}(]-\infty, x])
  • P(X \in A), P(X = x), P(X \leq x)

2.2 Loi de probabilité

Définition 2.2 — (Loi d’une variable aléatoire)

Soit X : \Omega \to \mathbb{R} une variable aléatoire. La loi de X est la probabilité P_X sur (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) définie par : P_X(B) = P(X \in B) = P(X^{-1}(B)) pour tout borélien B de \mathbb{R}.

2.3 Fonction de répartition

Définition 2.3 — (Fonction de répartition)

La fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X est la fonction F_X : \mathbb{R} \to [0,1] définie par : F_X(x) = P(X \leq x)

Proposition 2.1 — (Propriétés de la fonction de répartition)

Soit X une variable aléatoire réelle. Alors :

  1. F_X est croissante.
  2. F_X est continue à droite.
  3. \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 et \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.

3 Variables aléatoires discrètes

3.1 Définition

Définition 3.1 — (Variable aléatoire discrète)

Soit X une variable aléatoire sur (\Omega, \mathcal{T}, P). Si D = X(\Omega) est une partie de \mathbb{R} au plus dénombrable, on parle d’une variable aléatoire discrète.

Définition 3.2 — (Loi de probabilité d’une variable discrète)

Soit X une variable aléatoire discrète sur \Omega. On appelle loi de probabilité de X, l’application P_X définie par : P_X : \mathcal{P}(D) \to \mathbb{R}^+, \quad A \mapsto P_X(A) = P(X \in A)

Proposition 3.1

Soit X une variable aléatoire discrète d’ensemble de valeurs possibles D. Alors : \sum_{x \in D} P(X = x) = 1

3.2 Lois usuelles discrètes

Proposition 3.2 — (Lois usuelles discrètes)

Loi Espérance Variance
\mathcal{B}(p) (Bernoulli) p p(1-p)
\mathcal{B}(n, p) (Binomiale) np np(1-p)
\mathcal{G}(p) (Géométrique) \frac{1}{p} \frac{1-p}{p^2}
\mathcal{P}(\lambda) (Poisson) \lambda \lambda
\mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket) (Uniforme discrète) \frac{n+1}{2} \frac{n^2 - 1}{12}

Définition 3.3 — (Loi de Bernoulli)

Soit p \in [0, 1]. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(p), si : P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p = q

Définition 3.4 — (Loi binomiale)

Soient n \in \mathbb{N}^* et p \in [0, 1]. Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p), si : P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}

Définition 3.5 — (Loi géométrique)

Soit p \in ]0, 1]. Une variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p, notée X \hookrightarrow \mathcal{G}(p), si : P(X = k) = p(1-p)^{k-1}, \quad k \in \mathbb{N}^*

Définition 3.6 — (Loi de Poisson)

Soit \lambda > 0. Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre \lambda, notée X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda), si : P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \quad k \in \mathbb{N}

Proposition 3.3 — (Somme de Bernoulli indépendantes)

Soient X_1, \ldots, X_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi de Bernoulli \mathcal{B}(p). Alors : Z = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p)

4 Espérance et moments

4.1 Espérance

Définition 4.1 — (Espérance d’une variable aléatoire discrète)

Soit X une variable aléatoire discrète d’ensemble de valeurs possibles D. On dit que X admet une espérance si la famille (x \cdot P(X = x))_{x \in D} est sommable. On définit alors : E(X) = \sum_{x \in D} x \cdot P(X = x)

Proposition 4.1 — (Formule de transfert)

Soit X une variable aléatoire discrète admettant une espérance et f : D \to \mathbb{R} une application. Alors f(X) admet une espérance si et seulement si la famille (f(x) \cdot P(X = x))_{x \in D} est sommable, et : E(f(X)) = \sum_{x \in D} f(x) \cdot P(X = x)

Théorème 4.1 — (Propriétés de l’espérance)

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes admettant une espérance. Alors :

  1. Linéarité : Pour tout (a, b) \in \mathbb{R}^2 : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
  2. Positivité : Si X \geq 0, alors E(X) \geq 0
  3. Croissance : Si X \leq Y, alors E(X) \leq E(Y)

Proposition 4.2 — (Espérance et indépendance)

Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes admettant chacune une espérance, alors XY admet une espérance et : E(XY) = E(X) \cdot E(Y)

4.2 Moments

Définition 4.2 — (Moments)

Soit k \in \mathbb{N}^*. Le moment d’ordre k de X est, sous réserve d’existence : E(X^k) = \sum_{x \in D} x^k \cdot P(X = x)

4.3 Variance et écart-type

Définition 4.3 — (Variance et écart-type)

Si X admet un moment d’ordre 2, la variance de X est : V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2

L’écart-type de X est \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Définition 4.4 — (Variable centrée réduite)

Soit X une variable aléatoire réelle discrète admettant un moment d’ordre 2.

  • On dit que X est centrée si E(X) = 0.
  • On dit que X est réduite si V(X) = 1.

Si \sigma(X) > 0, la variable X^* = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)} est centrée réduite.

Théorème 4.2 — (Propriétés de la variance)

Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d’ordre 2.

  1. V(X) = E(X^2) - (E(X))^2
  2. Pour tout (a, b) \in \mathbb{R}^2 : V(aX + b) = a^2 V(X)
  3. V(X) \geq 0
  4. V(X) = 0 si et seulement si X est constante (presque sûrement).

Définition 4.5 — (Covariance)

Si X et Y admettent un moment d’ordre 2, la covariance de X et Y est : \mathrm{cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)

Théorème 4.3 — (Variance d’une somme)

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\mathrm{cov}(X, Y)

Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y).

5 Fonctions génératrices

5.1 Définition

Définition 5.1 — (Fonction génératrice)

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}. La fonction génératrice de X est la fonction G_X : [-1, 1] \to \mathbb{R} définie par : G_X(s) = E(s^X) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X = k) s^k

5.2 Propriétés

Théorème 5.1 — (Propriétés de la fonction génératrice)

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}.

  1. G_X(1) = 1.
  2. X admet une espérance si et seulement si G_X est dérivable en 1, et dans ce cas : E(X) = G_X'(1)
  3. X admet un moment d’ordre 2 si et seulement si G_X est deux fois dérivable en 1, et dans ce cas : V(X) = G_X''(1) - (G_X'(1))^2 + G_X'(1)

Proposition 5.1 — (Fonction génératrice d’une somme)

Si X et Y sont des variables aléatoires discrètes à valeurs dans \mathbb{N} indépendantes, alors : G_{X+Y}(s) = G_X(s) \cdot G_Y(s)

Exemple 5.1 — (Fonctions génératrices usuelles)

  1. Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(p) : G_X(s) = q + ps
  2. Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) : G_X(s) = (q + ps)^n
  3. Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda) : G_X(s) = e^{\lambda(s-1)}
  4. Si X \hookrightarrow \mathcal{G}(p) : G_X(s) = \frac{ps}{1 - qs} pour |s| < \frac{1}{q}

6 Inégalités

6.1 Inégalité de Markov

Proposition 6.1 — (Inégalité de Markov)

Soit X une variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance. Alors pour tout x > 0 : P(|X| \geq x) \leq \frac{E(|X|)}{x}

Exemple 6.1

Dans une entreprise marocaine, le salaire brut mensuel moyen est 24420 Dhs. On choisit un salarié au hasard et on note X la variable aléatoire donnant son salaire. Alors : P(X \geq 73260) \leq \frac{24420}{73260} = \frac{1}{3}

6.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème 6.1 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Soit X une variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance et une variance. Alors pour tout \varepsilon > 0 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}

Preuve. On applique l’inégalité de Markov à la variable aléatoire positive (X - E(X))^2 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) = P((X - E(X))^2 \geq \varepsilon^2) \leq \frac{E((X - E(X))^2)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X)}{\varepsilon^2}

6.3 Inégalité de Jensen

Théorème 6.2 — (Inégalité de Jensen)

Soit X une variable aléatoire réelle admettant une espérance, f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction convexe sur \mathbb{R}, et Y = f(X) admettant une espérance. Alors : f(E(X)) \leq E(f(X))

7 Convergence en probabilité et en loi

7.1 Convergence en probabilité

Définition 7.1 — (Convergence en probabilité)

Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire. On dit que (X_n) converge en probabilité vers X si : \forall \varepsilon > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0

7.2 Convergence en loi

Définition 7.2 — (Convergence en loi)

Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire. On dit que (X_n) converge en loi vers X si : \forall t \in \mathbb{R} \setminus D_X, \quad \lim_{n \to +\infty} F_{X_n}(t) = F_X(t) où D_X désigne l’ensemble des points de discontinuité de F_X.

Proposition 7.1

La convergence en probabilité implique la convergence en loi. La réciproque est fausse.

8 Loi faible des grands nombres

Théorème 8.1 — (Loi faible des grands nombres)

Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons m = E(X_1) et S_n = \sum_{k=1}^n X_k. Alors : \forall \varepsilon > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| \geq \varepsilon\right) = 0

Autrement dit, la suite \left(\frac{S_n}{n}\right)_{n \geq 1} converge en probabilité vers la variable constante m.

Preuve. Par indépendance et même loi : E\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n E(X_k) = m V\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n V(X_k) = \frac{V(X_1)}{n}

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{V(S_n/n)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X_1)}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

La loi faible des grands nombres justifie l’approche fréquentiste de la probabilité : si l’on répète n fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’un événement A converge en probabilité vers P(A).

9 Exercices

Exercice 9.1

Soient A et B deux événements tels que P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{4} et P(A \cup B) = \frac{1}{2}.

  1. Calculer P(A \cap B).
  2. A et B sont-ils indépendants ?
  3. Calculer P_A(B) et P_B(A).

Exercice 9.2

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise 3 boules. Notons X le nombre de boules rouges obtenues.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 9.3

Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).

  1. Déterminer la fonction génératrice G_X.
  2. En déduire E(X) et V(X).

Exercice 9.4 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 3 et V(X) = 4.

  1. Majorer P(|X - 3| \geq 2).
  2. Majorer P(|X - 3| \geq 6).

Exercice 9.5 — (Loi faible des grands nombres)

On lance n fois un dé équilibré. Notons S_n la somme des résultats obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. En déduire que \frac{S_n}{n} converge en probabilité vers \frac{7}{2}.
  3. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{7}{2}\right| \geq 1\right) en fonction de n.

Exercice 9.6 — (Convergence de Poisson)

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires avec X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \frac{\lambda}{n}).

  1. Déterminer la fonction génératrice G_{X_n}.
  2. Montrer que G_{X_n}(s) \to e^{\lambda(s-1)} pour tout s \in [-1, 1].
  3. Conclure que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).

Exercice 9.7 — (Formule de Wald)

Soient (X_k)_{k \geq 1} et N des variables aléatoires sur un même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, à valeurs dans \mathbb{N}, les X_i ayant toutes même loi. On considère S = X_1 + \cdots + X_N (avec la convention S = 0 si N = 0).

  1. Montrer que S est une variable aléatoire.
  2. Déterminer la fonction génératrice de S en fonction des fonctions génératrices de N et X_1.
  3. En déduire E(S) = E(N) E(X_1).

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Chapitre 08 : Espaces probabilisés ; variables aléatoires réelles ; cas discret