Espaces préhilbertiens réels. Endomorphismes des espaces euclidiens

Chapitre 09

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 09. Produits scalaires, orthogonalité, projection orthogonale, matrices orthogonales, isométries vectorielles (plan et espace), matrices symétriques réelles, théorème spectral.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, E désigne un \mathbb{R}-espace vectoriel. Tous les espaces vectoriels considérés sont des \mathbb{R}-espaces vectoriels sauf mention explicite.

1 Produits scalaires

1.1 Définition

Définition 1.1 — (Produit scalaire)

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute application \langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R} qui vérifie :

  1. Bilinéarité : \forall x, y, z \in E, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \quad \langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda \langle x, z \rangle + \mu \langle y, z \rangle et \langle x, \lambda y + \mu z \rangle = \lambda \langle x, y \rangle + \mu \langle x, z \rangle
  2. Symétrie : \forall x, y \in E, \quad \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle
  3. Définie positive : \forall x \in E, \quad \langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0_E
  4. Positivité : \forall x \in E, \quad \langle x, x \rangle \geq 0

Définition 1.2 — (Espaces préhilbertiens et euclidiens)

  • Si E est un \mathbb{R}-espace vectoriel muni d’un produit scalaire \langle \cdot, \cdot \rangle, il est dit espace préhilbertien réel.
  • S’il est, de plus, de dimension finie, il est dit espace euclidien.

1.2 Exemples de produits scalaires

Exemple 1.1 — (Produits scalaires de référence)

  1. Produit scalaire euclidien canonique sur \mathbb{R}^n : \langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k y_k = {}^tX Y

  2. Produit scalaire sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : \langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^tA B) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} b_{ij}

  3. Produit scalaire sur les fonctions continues : \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t)\, dt

  4. Produit scalaire sur les polynômes : \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t) Q(t)\, dt

1.3 Norme euclidienne

Définition 1.3 — (Norme euclidienne)

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel. La norme euclidienne associée au produit scalaire est définie par : \forall x \in E, \quad \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}

Proposition 1.1 — (Règles de calcul)

Pour tous vecteurs x, y \in E et tout réel \lambda \in \mathbb{R} :

  1. \|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|
  2. \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2
  3. \|x - y\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2
  4. \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) (identité du parallélogramme)
  5. \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2) (identité de polarisation)

1.4 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Proposition 1.2 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel. Alors :

  1. Pour tout (x, y) \in E^2 : |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| avec égalité si et seulement si la famille (x, y) est liée.

  2. Pour tout (x, y) \in E^2 : \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| avec égalité si et seulement si y = \lambda x avec \lambda \in \mathbb{R}^+.

Preuve. Si x = 0, le résultat est trivial. Supposons x \neq 0. Pour tout \lambda \in \mathbb{R} : 0 \leq \|x - \lambda y\|^2 = \|x\|^2 - 2\lambda \langle x, y \rangle + \lambda^2 \|y\|^2

Le discriminant de ce polynôme du second degré en \lambda est négatif ou nul : \Delta = 4\langle x, y \rangle^2 - 4\|x\|^2 \|y\|^2 \leq 0

D’où |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.

Pour le cas d’égalité, on vérifie que \Delta = 0 si et seulement si x et y sont liés.

Proposition 1.3

L’application E \to \mathbb{R}^+, x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} est une norme sur E, appelée norme euclidienne associée au produit scalaire de E.

2 Orthogonalité

2.1 Définitions

Définition 2.1 — (Orthogonalité)

Soit (x, y) \in E^2. On dit que x est orthogonal à y, et on note x \perp y, si : \langle x, y \rangle = 0

Définition 2.2 — (Orthogonal d’une partie)

Soit A une partie de E. L’orthogonal de A est : A^\perp = \{y \in E \mid \forall x \in A, \; \langle x, y \rangle = 0\}

Proposition 2.1 — (Propriétés de l’orthogonal)

  1. E^\perp = \{0\}. En particulier, pour démontrer qu’un vecteur a de E est nul, il suffit de prouver que \forall x \in E, \; \langle x, a \rangle = 0.
  2. \{0\}^\perp = E
  3. Pour toute partie A de E, A^\perp est un sous-espace vectoriel fermé de E.
  4. Pour toute partie A de E, on a A^\perp = (\mathrm{Vect}\, A)^\perp.
  5. Si A et B sont deux parties de E, on dit que A et B sont orthogonales et on note A \perp B si : \forall (a, b) \in A \times B, \quad \langle a, b \rangle = 0

Remarquons que : A \perp B \iff A \subset B^\perp \iff B \subset A^\perp.

2.2 Familles orthogonales et orthonormées

Définition 2.3

Une famille (e_i)_{i \in I} de vecteurs de E est :

  • orthogonale si \forall i \neq j, \; \langle e_i, e_j \rangle = 0
  • orthonormée (ou orthonormale) si elle est orthogonale et si \forall i, \; \|e_i\| = 1

Proposition 2.2

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel. Alors, toute famille orthogonale de vecteurs de E formée de vecteurs non nuls est une famille libre, en particulier toute famille orthonormée de E est une famille libre de E.

Preuve. Soit (e_i)_{i \in I} une telle famille. Si J est une partie finie non vide de I et (\alpha_i)_{i \in J} une famille de scalaires telle que : \sum_{i \in J} \alpha_i e_i = 0 soit k \in J, alors : \left\langle e_k, \sum_{i \in J} \alpha_i e_i \right\rangle = 0 donc \alpha_k \|e_k\|^2 = 0 et comme e_k \neq 0, on a \alpha_k = 0.

Proposition 2.3 — (Théorème de Pythagore)

Soit E un espace préhilbertien réel. Alors : \forall (x, y) \in E^2, \quad x \perp y \iff \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

Généralement si m \geq 2 et x_1, \ldots, x_m des vecteurs deux à deux orthogonaux avec m \in \mathbb{N}, m \geq 2, alors : \left\|\sum_{k=1}^m x_k\right\|^2 = \sum_{k=1}^m \|x_k\|^2

Attention ! La réciproque n’est pas vraie si m \geq 3.

2.3 Procédé de Gram-Schmidt

Théorème 2.1 — (Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt)

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel et U = (u_1, \ldots, u_n) une famille libre de E. Alors il existe une famille orthonormée E = (e_1, \ldots, e_n) telle que : \forall k \in \{1, \ldots, n\}, \quad \mathrm{Vect}(u_1, \ldots, u_k) = \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k)

L’algorithme est le suivant : e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} \forall k \in \{1, \ldots, n-1\}, \quad e_{k+1} = \frac{u_{k+1} - \pi_k(u_{k+1})}{\|u_{k+1} - \pi_k(u_{k+1})\|} où \pi_k est la projection orthogonale sur \mathrm{Vect}(u_1, \ldots, u_k).

Corollaire 2.1 — (Existence de bases orthonormées)

Tout espace euclidien E \neq \{0_E\} possède une base orthonormée.

2.4 Expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Proposition 2.4

Soit E un espace euclidien de dimension non nulle n et \mathcal{E} = (e_1, \ldots, e_n) une base orthonormée de E. Alors si x = \sum_{i=1}^n x_i e_i et y = \sum_{i=1}^n y_i e_i sont deux vecteurs de E, on a :

  1. \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = {}^tX Y = {}^tY X
  2. \forall x \in E, \quad x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k
  3. \forall x \in E, \quad \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2

2.5 Théorème de représentation et supplémentaire orthogonal

Théorème 2.2 — (Théorème de représentation)

Soit E un espace euclidien de dimension non nulle n. Pour toute forme linéaire f sur E, il existe un et un seul vecteur a de E tel que f = \langle a, \cdot \rangle, c’est-à-dire : \forall x \in E, \quad f(x) = \langle a, x \rangle

Définition 2.4 — (Supplémentaire orthogonal)

On dit qu’un sous-espace vectoriel F de E admet un supplémentaire orthogonal si F + F^\perp = E.

Théorème 2.3

Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien quelconque E, alors F admet un supplémentaire orthogonal. Autrement dit : F \oplus F^\perp = E \quad \text{et} \quad F = F^{\perp\perp}

3 Projection orthogonale

3.1 Définition et caractérisation

Définition 3.1 — (Projection orthogonale)

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. La projection orthogonale sur F, notée p_F, est la projection sur F associée à la décomposition E = F \oplus F^\perp.

3.2 Caractérisation métrique

Théorème 3.1 — (Pythagore)

Soit E un espace préhilbertien réel. Alors : \forall (x, y) \in E^2, \quad x \perp y \iff \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

3.3 Expression du projeté orthogonal

Proposition 3.1

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie non nulle p de E et \mathcal{C} = (e_1, \ldots, e_p) une base orthonormée de F. Alors si p_F est la projection orthogonale de E sur F, on a : \forall x \in E, \quad p_F(x) = \sum_{k=1}^p \langle x, e_k \rangle e_k

3.4 Inégalité de Bessel

Proposition 3.2 — (Inégalité de Bessel)

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien de dimension infinie. Si (e_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite orthonormée de vecteurs de E, alors pour tout vecteur x de E, la série \sum |\langle x, e_n \rangle|^2 est convergente dans E et on a : \sum_{n=0}^{+\infty} |\langle x, e_n \rangle|^2 \leq \|x\|^2

3.5 Distance à un sous-espace vectoriel

Théorème 3.2 — (Le projeté orthogonal réalise la meilleure approximation)

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Alors pour tout x \in E : \|x - p_F(x)\| = \min_{y \in F} \|x - y\|

Proposition 3.3 — (Distance à un hyperplan)

Si H = \mathrm{Vect}(a)^\perp est un hyperplan avec a \neq 0, alors : d(x, H) = \frac{|\langle x, a \rangle|}{\|a\|}

3.6 Projecteurs et symétries orthogonaux

Définition 3.2 — (Projecteur orthogonal)

Un projecteur p est dit orthogonal si \ker(p) \perp \mathrm{Im}(p).

Définition 3.3 — (Symétrie orthogonale, réflexion)

Soit s \in \mathcal{L}(E) une symétrie vectorielle (c’est-à-dire un endomorphisme de E tel que s \circ s = \mathrm{Id}_E).

  • On dit que s est une symétrie orthogonale si et seulement si les deux sous-espaces vectoriels \ker(s - \mathrm{Id}_E) et \ker(s + \mathrm{Id}_E) sont orthogonaux.
  • On dit de plus que s est une réflexion si l’ensemble des vecteurs invariants de s, \ker(s - \mathrm{Id}_E), est un hyperplan de E.

Proposition 3.4 — (Caractérisation des projecteurs orthogonaux)

Un endomorphisme p \in \mathcal{L}(E) est un projecteur orthogonal si et seulement si :

  1. c’est un projecteur : p^2 = p
  2. p est autoadjoint.

Proposition 3.5 — (Caractérisation des symétries orthogonales)

Un endomorphisme s \in \mathcal{L}(E) est une symétrie orthogonale si et seulement si :

  1. c’est une symétrie : s^2 = \mathrm{Id}_E
  2. s est autoadjoint.

4 Matrices orthogonales et endomorphismes orthogonaux

4.1 Matrices orthogonales

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. {}^tA A = I_n
  2. A \, {}^tA = I_n
  3. A est inversible et A^{-1} = {}^tA
  4. Les colonnes de A forment une base orthonormée de \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}).
  5. Les lignes de A forment une base orthonormée de \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R}).

4.2 Endomorphismes orthogonaux

Définition 4.1 — (Endomorphisme orthogonal, isométrie vectorielle)

Soit u \in \mathcal{L}(E) un endomorphisme de E. On dit que u est un endomorphisme orthogonal ou une isométrie vectorielle si : \forall x \in E, \quad \|u(x)\| = \|x\|

On note O(E) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E.

Soit u un endomorphisme de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. u conserve le produit scalaire : \forall (x, y) \in E^2, \quad \langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle
  2. u conserve la norme : \forall x \in E, \quad \|u(x)\| = \|x\|
  3. Il existe une base orthonormée \mathcal{E} de E telle que \mathrm{Mat}_{\mathcal{E}}(u) est une matrice orthogonale.
  4. Pour toute base orthonormée \mathcal{E} de E, la matrice \mathrm{Mat}_{\mathcal{E}}(u) est une matrice orthogonale.
  5. u transforme au moins une base orthonormée de E en une base orthonormée de E.
  6. u transforme toute base orthonormée de E en une base orthonormée de E.

Proposition 4.1

Pour tout endomorphisme orthogonal u de E, on a \det(u) \in \{-1, 1\}.

Proposition 4.2 — (Stabilité de l’orthogonal)

Soit u \in O(E) et soit F un sous-espace vectoriel de E stable pour u. Alors : u(F) \subset F \implies u(F^\perp) \subset F^\perp

4.3 Isométries directes et indirectes

Définition 4.2 — (Isométrie directe, indirecte)

Soit u un endomorphisme orthogonal de E.

  • Si \det(u) = 1, on dit que u est une isométrie directe. L’ensemble des isométries directes est noté O^+(E) ou \mathrm{SO}(E).
  • Si \det(u) = -1, on dit que u est une isométrie indirecte.

5 Étude du groupe orthogonal

5.1 Étude du groupe orthogonal en dimension 2

Théorème 5.1 — (Étude de \boldsymbol{O_2^+(\mathbb{R})})

  1. Les matrices de O_2^+(\mathbb{R}) sont de la forme : R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} où \theta \in \mathbb{R}.

  2. Les endomorphismes associés sont les rotations du plan d’angle \theta.

Corollaire 5.1 — (Les isométries indirectes d’un espace euclidien de dimension 2 sont diagonalisables et de spectre \boldsymbol{{\pm 1}})

Soit E un espace euclidien de dimension 2 et soit u une isométrie indirecte de E. Alors u est diagonalisable et ses valeurs propres sont \pm 1.

Théorème 5.2 — (Isométries indirectes et réflexions)

Une isométrie indirecte d’un espace euclidien orienté de dimension 2 est une symétrie orthogonale par rapport à une droite, c’est-à-dire une réflexion.

5.2 Étude du groupe orthogonal en dimension 3

Théorème 5.3 — (Classification des isométries en dimension 3)

Soit un endomorphisme orthogonal u \in O(E). On note E(1) = \ker(u - \mathrm{Id}_E) le sous-espace formé des vecteurs invariants.

Selon la dimension de E(1), on a la classification suivante :

\dim E(1) \det(u) u \in Nature de u
3 1 O^+(E) \mathrm{Id}_E
2 -1 O^-(E) Réflexion s_H
1 1 O^+(E) Rotation autour d’un axe r_{D,\theta} (dont les demi-tours)
0 -1 O^-(E) Composée d’une rotation et d’une réflexion

Dans le dernier cas, u = r \circ s_H, où le plan H invariant par la réflexion est orthogonal à l’axe de la rotation r.

6 Endomorphismes symétriques et théorème spectral

6.1 Endomorphismes symétriques

Définition 6.1 — (Endomorphisme symétrique)

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel de dimension finie ou infinie et u \in \mathcal{L}(E). On dit que u est symétrique si : \forall x, y \in E, \quad \langle x, u(y) \rangle = \langle u(x), y \rangle

Proposition 6.1 — (Stabilité des sous-espaces orthogonaux)

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel de dimension finie ou infinie et u un endomorphisme symétrique de E et F un sous-espace vectoriel de E. Si F est stable par u, alors F^\perp est stable par u.

Preuve. Soit x \in F^\perp, montrons que u(x) \in F^\perp. Pour cela soit y \in F alors : \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle = 0 car u(y) \in F par stabilité de F et x \in F^\perp par hypothèse.

Proposition 6.2 — (Orthogonalité des sous-espaces propres)

Soit u un endomorphisme symétrique de E. Si \lambda et \mu sont deux valeurs propres de u, alors : \lambda \neq \mu \implies E_\lambda(u) \perp E_\mu(u)

Preuve. Considérons \lambda, \mu \in \mathrm{Sp}(u) tel que \lambda \neq \mu et montrons que E_\lambda(u) \perp E_\mu(u). Pour cela soit x \in E_\lambda(u) et y \in E_\mu(u) deux vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres distinctes \lambda et \mu de u. On a : \langle u(x), y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle = \langle x, u(y) \rangle = \mu \langle x, y \rangle donc (\lambda - \mu)\langle x, y \rangle = 0. Comme \lambda - \mu \neq 0, on a : \langle x, y \rangle = 0. Ainsi E_\lambda(u) \perp E_\mu(u).

6.2 Théorème spectral

Théorème 6.1 — (Théorème spectral)

Soit u un endomorphisme symétrique de E. Alors u est diagonalisable dans une base orthonormée, c’est-à-dire que E admet une base formée de vecteurs propres de u.

Preuve. Par récurrence sur la dimension de E.

  • Si \dim(E) = 1, un endomorphisme symétrique u de E est une homothétie. Si \mathcal{B} = (e_1) avec e_1 \in E tel que \|e_1\| = 1, alors \mathcal{B} est base orthonormée de diagonalisation de u.

  • Soit n \in \mathbb{N}^* tel que pour tout espace euclidien F de dimension n, tout endomorphisme symétrique de F admet une base orthonormée de diagonalisation. Soit alors E un espace euclidien de dimension n+1 et u un endomorphisme symétrique de E. L’endomorphisme u admet au moins une valeur propre \lambda_1. Soit e un vecteur propre associé à \lambda_1 et notons e_1 = \frac{1}{\|e_1\|} e. Il est clair que e_1 est un vecteur propre de u associé à \lambda_1 et que \|e_1\| = 1. Soit F = (\mathbb{R}e_1)^\perp alors E = \mathbb{R}e_1 \oplus F et \mathbb{R}e_1 et F sont stables par u. F muni du produit scalaire induit par celui de E est un espace euclidien de dimension n. Comme n \geq 1, on a, par hypothèse de récurrence, l’endomorphisme induit u_F est diagonalisable dans une base orthonormée \mathcal{B}' = (e_k)_{2 \leq k \leq n+1}. Soit \mathcal{B} = (e_k)_{1 \leq k \leq n+1}, alors \mathcal{B} est une base orthonormée de E et c’est bien une base de vecteurs propres de u, donc \mathcal{B} est une base orthonormée de diagonalisation de u.

6.3 Version matricielle du théorème spectral

Théorème 6.2 — (Théorème spectral matriciel)

Soit A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) une matrice carrée réelle symétrique d’ordre n avec n \in \mathbb{N}^*. Alors il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale réelle \Delta toutes de taille n telles que : A = {}^tP \Delta P

On dit que A est orthogonalement diagonalisable.

Il faut, chaque fois que l’on veut utiliser ce théorème, faire attention et s’assurer que la matrice symétrique concernée est réelle.

6.4 Endomorphismes symétriques positifs et définis positifs

Définition 6.2 — (Symétrique positif et défini positif)

Soit E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme de E et soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

  1. On dit que u est symétrique positif si et seulement si u est symétrique et : \forall x \in E, \quad \langle u(x), x \rangle \geq 0

  2. On dit que u est symétrique défini positif si et seulement si u est symétrique et : \forall x \in E \setminus \{0\}, \quad \langle u(x), x \rangle > 0

  3. On dit que la matrice A est symétrique positive si et seulement si A est symétrique et : \forall X \in \mathbb{R}^n, \quad \langle AX, X \rangle \geq 0

7 Exercices

Exercice 7.1

Soit E un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que :

  1. Si F \subset G, alors G^\perp \subset F^\perp.
  2. (F + G)^\perp = F^\perp \cap G^\perp.
  3. (F \cap G)^\perp = F^\perp + G^\perp.
  4. Si \dim(E) est finie, alors (F^\perp)^\perp = F.

Exercice 7.2

Déterminer la matrice dans la base canonique de \mathbb{R}^3 de la projection orthogonale sur le plan d’équation x + 2y - 3z = 0.

En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan.

Exercice 7.3

Soit E un espace euclidien et u un vecteur non nul. Soient p la projection orthogonale sur H = u^\perp et s la symétrie orthogonale par rapport à H.

  1. Montrer que \forall x \in E, \quad p(x) = x - \frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
  2. Montrer que \forall x \in E, \quad s(x) = x - 2\frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
  3. On considère dans \mathbb{R}^3 le plan (\Pi : x - y + z = 0). Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à \Pi.

Exercice 7.4

Soient \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base orthonormale de E et (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{(0, \ldots, 0)\} et H le sous-espace vectoriel de E d’équation cartésienne \sum_{k=1}^n a_k x_k = 0 dans \mathcal{B}.

  1. Déterminer l’orthogonale de H.
  2. Déterminer la distance du vecteur x = \sum_{k=1}^n x_k e_k de E au sous-espace vectoriel H.

Exercice 7.5

Soit E = \mathbb{R}_n[X] muni du produit scalaire \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t) Q(t)\, dt.

  1. Montrer que \varphi est un produit scalaire.
  2. On suppose n = 2. Écrire la matrice associée à \varphi dans la base (1, X, X^2). Construire une base orthonormale (P_0, P_1, P_2) par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt appliqué à (1, X, X^2).

Exercice 7.6

Soit E un espace euclidien, et (e_1, \ldots, e_n) des vecteurs unitaires vérifiant : \forall x \in E, \quad \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle^2

Montrer que (e_1, \ldots, e_n) est une famille orthonormale (NB : on ne suppose pas que la dimension de l’espace est n).

Exercice 7.7 — (Classification des isométries)

Soit A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) une matrice orthogonale. Montrer que A est semblable à l’une des matrices suivantes :

  1. \mathrm{Diag}(1, 1, 1) (identité)
  2. \mathrm{Diag}(1, 1, -1) (réflexion)
  3. \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} (rotation)
  4. \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} (composée d’une rotation et d’une réflexion)

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Chapitre 09 : Espaces préhilbertiens réels. Endomorphismes des espaces euclidiens