TD — Déterminants

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — TD du Chapitre 02. Déterminants d’une matrice carrée, déterminants d’une famille de vecteurs, déterminant d’un endomorphisme, opérations élémentaires, développement de Laplace, formules de Cramer.

Exercice 1

Calculer les déterminants suivants :

  1. D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}
  2. D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 3 & 4 & 15 \\ 5 & 6 & 21 \end{vmatrix}
  3. D_3 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}

Indication : Échelonner par des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.

Exercice 2

Soit A = \begin{pmatrix} a & 1 & 3 \\ 0 & b & 2 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}. Calculer \det(A), \det(A^T), \det(A^2) et \det(\lambda A) pour \lambda \in \mathbb{R}.

Exercice 3

Montrer que les opérations élémentaires sur les lignes modifient le déterminant comme suit :

  1. L_i \leftarrow \lambda L_i avec \lambda \neq 0 : le déterminant est multiplié par \lambda.
  2. L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j avec j \neq i : le déterminant ne change pas.
  3. L_i \leftrightarrow L_j : le déterminant change de signe.

Exercice 4

Soient v_1, v_2, v_3 trois vecteurs de \mathbb{R}^3. Montrer que (v_1, v_2, v_3) est une base de \mathbb{R}^3 si et seulement si \det(v_1, v_2, v_3) \neq 0.

Exercice 5

Soit f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par f(x,y,z) = (-x, y+z, 2z).

  1. Montrer que f est un endomorphisme.
  2. Calculer \det(f).
  3. f est-il un automorphisme ?

Exercice 6

En utilisant le développement de Laplace par rapport à la première ligne, calculer : \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

Exercice 7

Résoudre par les formules de Cramer : \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ x + y + z = 4 \end{cases}

Indication : Calculer \det(A) puis \det(A_1), \det(A_2), \det(A_3) en remplaçant successivement les colonnes par le second membre.

Exercice 8

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) antisymétrique (A^T = -A). Montrer que si n est impair, alors \det(A) = 0.

Exercice 9

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). Montrer que :

  1. \det(AB) = \det(A)\det(B).
  2. \det(A^T) = \det(A).
  3. Si A est inversible, \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.

Exercice 10

Calculer le déterminant de Vandermonde : V(a_1, a_2, a_3) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 \end{vmatrix}

Indication : Montrer que V = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).

Cours

Chapitre 02 : Déterminants