TD — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — TD du Chapitre 03. Éléments propres, polynôme caractéristique, endomorphismes et matrices diagonalisables, endomorphismes et matrices trigonalisables, application de la réduction.

Exercice 1

Soit A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Déterminer \chi_A.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, trouver P et D telles que A = PDP^{-1}.

Exercice 2

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  4. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Indications : - \chi_A(X) = (X-2)^2. La seule valeur propre est 2. - A - 2I_2 \neq 0 donc A n’est pas diagonalisable. - Pour A^n, trigonaliser : A = PTP^{-1} avec T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Exercice 3

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. Montrer que A est diagonalisable et trouver P, D telles que A = PDP^{-1}.
  4. En déduire A^n.

Indication : Observer que A = I_3 + J où J est la matrice dont tous les coefficients valent 1.

Exercice 4

Soit u \in \mathcal{L}(E) avec u^2 = u (projecteur). Montrer que :

  1. Les valeurs propres de u sont dans \{0, 1\}.
  2. u est diagonalisable.
  3. \mathrm{tr}(u) = \mathrm{rg}(u).

Exercice 5

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) diagonalisable avec A = PDP^{-1}. Montrer que :

  1. A^k = PD^kP^{-1} pour tout k \in \mathbb{N}.
  2. Si A est inversible, A^{-1} = PD^{-1}P^{-1}.
  3. Pour tout polynôme Q, Q(A) = PQ(D)P^{-1}.

Exercice 6

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). Montrer que A est trigonalisable si et seulement si \chi_A est scindé sur \mathbb{C}.

Exercice 7

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) nilpotente (A^p = 0 pour un certain p). Montrer que :

  1. \chi_A(X) = X^n.
  2. A est trigonalisable.
  3. A est diagonalisable si et seulement si A = 0.

Exercice 8

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) avec AB = BA. Montrer que si \lambda est valeur propre de A, alors E_\lambda(A) est stable par B.

Exercice 9

Résoudre la suite récurrente u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n avec u_0 = 1, u_1 = 2 en diagonalisant la matrice compagnon.

Indication : La matrice compagnon est A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}. Ses valeurs propres sont 2 et 3.

Exercice 10

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de A.
  2. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  3. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Cours

Chapitre 03 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées