Équations différentielles linéaires
Chapitre 11
TSI (2e année) — Chapitre 11. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2, problème de Cauchy, systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.
Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de \mathbb{R}, E un espace vectoriel normé de dimension finie, et \mathbb{K} le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Généralités sur les équations différentielles
1.1 Équation différentielle et solution
Définition 1.1 — (Équation différentielle et solution)
Soit U un ouvert de \mathbb{R} \times E et f : U \to E une application continue. On considère l’équation différentielle : x' = f(t, x)
Une solution de cette équation est un couple (J, x) où J est un intervalle non trivial de \mathbb{R} et x : J \to E est une application dérivable vérifiant : \forall t \in J, \quad (t, x(t)) \in U \quad \text{et} \quad x'(t) = f(t, x(t))
On appelle courbe intégrale de l’équation le graphe paramétré t \mapsto (t, x(t)).
Exemple 1.1 — (Équations à variables séparables)
Un cas particulier important est celui des équations à variables séparables : E = \mathbb{R} et f(t, u) = a(t)b(u) où a et b sont des fonctions continues.
Une telle équation x' = a(t)b(x) se résout en cherchant des solutions de la forme x(t) = g(t) où g satisfait : \frac{g'(t)}{b(g(t))} = a(t)
1.2 Problème de Cauchy
Définition 1.2 — (Problème de Cauchy)
Soit (t_0, x_0) \in U. Le problème de Cauchy associé à l’équation x' = f(t, x) avec la condition initiale x(t_0) = x_0 consiste à trouver une solution x définie sur un intervalle J contenant t_0 et vérifiant : x'(t) = f(t, x(t)) \quad \text{et} \quad x(t_0) = x_0
Théorème 1.1 — (Théorème de Cauchy-Lipschitz, admis)
Soient f : U \to E une application continue et (t_0, x_0) \in U. Alors il existe un intervalle ouvert J contenant t_0 et une unique solution x : J \to E du problème de Cauchy : \begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases}
Le théorème de Cauchy-Lipschitz est admis et n’est pas le point central du paragraphe. Il est présenté pour préparer les élèves au cas non linéaire qui sera traité dans les cursus post classes préparatoires. Il peut aussi servir à éclairer les résultats du cas linéaire en montrant leurs spécificités.
1.3 Méthode d’Euler
Définition 1.3 — (Méthode d’Euler)
Pour rechercher des solutions approchées de l’équation x' = f(t, x) avec x(t_0) = x_0, la méthode d’Euler consiste à construire une suite (x_n) par récurrence : x_{n+1} = x_n + h \cdot f(t_n, x_n) où h > 0 est le pas de la méthode et t_n = t_0 + nh.
Les élèves doivent savoir appliquer la méthode d’Euler à des exemples simples pour obtenir des solutions approchées.
2 Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1
2.1 Définition et structure
Définition 2.1 — (Équation différentielle linéaire du premier ordre)
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme : a(x)y' + b(x)y = c(x) où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle I, avec a non identiquement nulle.
L’équation homogène associée est : a(x)y' + b(x)y = 0
Définition 2.2 — (Solution)
Une fonction f est solution de l’équation sur I si f est définie et dérivable sur I et : \forall x \in I, \quad a(x)f'(x) + b(x)f(x) = c(x)
Proposition 2.1 — (Structure de l’ensemble des solutions)
L’ensemble des solutions sur un intervalle I de l’équation homogène (H) : a(x)y' + b(x)y = 0 est un sous-espace vectoriel du \mathbb{K}-espace vectoriel \mathcal{F}(I, \mathbb{K}) (éventuellement réduit à \{0\}).
Si l’équation linéaire du premier ordre complète (E) : a(x)y' + b(x)y = c(x) admet une solution f_0 sur I, alors les solutions sur I de (E) sont exactement les fonctions f = f_0 + \varphi, où \varphi décrit le \mathbb{K}-espace vectoriel des solutions sur I de (H).
2.2 Résolution de l’équation homogène
Théorème 2.1 — (Résolution de l’équation homogène du premier ordre)
Soit (H) : a(x)y' + b(x)y = 0 une équation linéaire du premier ordre homogène et soit I un intervalle sur lequel a et b sont continues et a ne s’annule pas. Alors :
En notant G une primitive quelconque sur I de -\frac{b}{a}, les solutions sur I de (H) sont les fonctions de la forme x \mapsto \lambda e^{G(x)}, où \lambda décrit \mathbb{K}.
Si une solution de (H) sur I s’annule en un point, elle est nulle.
Le \mathbb{K}-espace vectoriel des solutions de (H) sur I est de dimension 1, toute solution non nulle de (H) en constitue donc une base.
Exemple 2.1 — (Cas particulier : coefficients constants)
Pour l’équation ay' + by = 0 avec a \neq 0 et b constants, les solutions sur \mathbb{R} sont : x \mapsto \lambda e^{-\frac{b}{a}x}, \quad \lambda \in \mathbb{K}
2.3 Recherche d’une solution particulière
Proposition 2.2 — (Méthode de variation de la constante)
Pour chercher une solution particulière de l’équation complète (E) : a(x)y' + b(x)y = c(x), on peut utiliser la méthode de variation de la constante :
- Résoudre l’équation homogène (H) pour obtenir une solution non nulle \varphi_1(x) = e^{G(x)}.
- Chercher une solution de (E) sous la forme f_0(x) = \lambda(x) \varphi_1(x).
- En substituant dans (E), on obtient une équation différentielle pour \lambda'(x), que l’on peut intégrer.
2.4 Théorème de Cauchy pour les équations du premier ordre
Théorème 2.2 — (Existence et unicité)
Soit (E) : a(x)y' + b(x)y = c(x) une équation différentielle linéaire du premier ordre, et soit I un intervalle sur lequel a, b, c sont continues, et a ne s’annule pas. Alors :
- (E) admet une infinité de solutions sur I.
- Si \varphi_1 désigne une solution non nulle de l’équation homogène associée (H), et si f_0 désigne une des solutions de (E), alors l’ensemble des solutions de (E) sur I est l’ensemble des f_0 + \lambda \varphi_1, où \lambda décrit \mathbb{K}.
- Pour tout couple (x_0, y_0) \in I \times \mathbb{K}, il existe une et une seule solution de (E) sur I qui prend la valeur y_0 en x_0.
3 Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2
3.1 Définition et structure
Définition 3.1 — (Équation différentielle linéaire du second ordre)
Une équation différentielle linéaire du second ordre est une équation de la forme : a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = d(x) où a, b, c, d sont des fonctions continues sur un intervalle I, avec a non identiquement nulle.
Une fonction deux fois dérivable sur I est solution de cette équation sur I si et seulement si : \forall x \in I, \quad a(x)f''(x) + b(x)f'(x) + c(x)f(x) = d(x)
Proposition 3.1 — (Structure de l’ensemble des solutions)
L’ensemble des solutions sur un intervalle I de l’équation homogène (H) : a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = 0 est un sous-espace vectoriel du \mathbb{K}-espace vectoriel \mathcal{F}(I, \mathbb{K}) (éventuellement réduit à \{0\}).
Si l’équation linéaire du second ordre complète (E) : a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = d(x) admet une solution f_0 sur I, alors les solutions sur I de (E) sont exactement les fonctions f = f_0 + \varphi, où \varphi décrit l’espace vectoriel des solutions sur I de (H).
3.2 Équations à coefficients constants
Définition 3.2 — (Équation à coefficients constants)
On s’intéresse aux équations à coefficients constants, c’est-à-dire aux équations pour lesquelles les fonctions a, b, c sont constantes (avec a \neq 0). On aura donc à étudier une équation du type : ay'' + by' + cy = d(x) avec (a, b, c) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K} \times \mathbb{K}.
3.3 Résolution de l’équation homogène à coefficients constants
Définition 3.3 — (Équation caractéristique)
Soit (H) : ay'' + by' + cy = 0 avec a, b, c \in \mathbb{K} et a \neq 0. On cherche les solutions du type x \mapsto e^{rx} où r \in \mathbb{K}.
En substituant dans l’équation, on obtient l’équivalence : x \mapsto e^{rx} \text{ est solution de } (H) \iff r \text{ est solution de } ar^2 + br + c = 0
Cette équation ar^2 + br + c = 0 s’appelle l’équation caractéristique associée à l’équation différentielle (H).
Théorème 3.1 — (Résolution de l’équation homogène à coefficients constants)
Soit (H) : ay'' + by' + cy = 0 une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients (complexes) constants. Alors les solutions complexes de (H) sur I forment un \mathbb{C}-espace vectoriel de dimension 2.
Plus précisément, si on note (C) l’équation ar^2 + br + c = 0, on a :
Si (C) admet deux racines distinctes \alpha, \beta, alors cet espace est engendré par les fonctions x \mapsto e^{\alpha x} et x \mapsto e^{\beta x}.
Si (C) admet une racine double \alpha, alors cet espace est engendré par les fonctions x \mapsto e^{\alpha x} et x \mapsto x e^{\alpha x}.
Dans le cas où a, b, c \in \mathbb{R} et l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées \alpha \pm i\omega, les solutions réelles sont de la forme : x \mapsto e^{\alpha x}(\lambda \cos(\omega x) + \mu \sin(\omega x)), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}
ou encore : x \mapsto r e^{\alpha x} \cos(\omega x + \varphi), \quad (r, \varphi) \in \mathbb{R}^+ \times [0, 2\pi[
Exemple 3.1 — (Cas particulier : \boldsymbol{y'' + \omega^2 y = 0})
L’équation y'' + \omega^2 y = 0 a pour équation caractéristique r^2 + \omega^2 = 0, de racines \pm i\omega. Les solutions réelles sont : x \mapsto \lambda \cos(\omega x) + \mu \sin(\omega x), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}
3.4 Recherche d’une solution particulière
Proposition 3.2 — (Second membre de forme exponentielle)
Pour l’équation ay'' + by' + cy = Q(x)e^{\lambda x} où Q est un polynôme, on cherche une solution particulière de la forme : y_p(x) = x^m R(x) e^{\lambda x} où R est un polynôme de même degré que Q et m est la multiplicité de \lambda comme racine de l’équation caractéristique.
Proposition 3.3 — (Second membre trigonométrique)
Pour les équations ay'' + by' + cy = Q(x)e^{\lambda x}\cos(\omega x) ou ay'' + by' + cy = Q(x)e^{\lambda x}\sin(\omega x), il suffit de prendre une solution réelle ou imaginaire d’une solution de ay'' + by' + cy = Q(x)e^{(\lambda+i\omega)x}.
Toutes ces considérations valent aussi, après adaptation, pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1 à coefficients constants.
4 Systèmes différentiels linéaires
4.1 Définition et traduction matricielle
Définition 4.1 — (Système différentiel linéaire)
Une équation différentielle linéaire à valeurs vectorielles est une équation de la forme : x'(t) = a(t)(x(t)) + b(t) où a est une application continue de I dans \mathcal{L}(E) et b une application continue de I dans E.
L’équation homogène associée est : x'(t) = a(t)(x(t))
Définition 4.2 — (Traduction matricielle)
Si \mathcal{B} est une base de E et A(t) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(a(t)), le système s’écrit : X' = A(t)X + B(t) où X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x) et B(t) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(b(t)).
4.2 Principe de superposition
Proposition 4.1 — (Principe de superposition)
Soient x_1 et x_2 deux solutions de l’équation homogène x' = a(t)x. Alors pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{K}, la fonction \lambda x_1 + \mu x_2 est aussi une solution de l’équation homogène.
Autrement dit, l’ensemble des solutions de l’équation homogène est un sous-espace vectoriel de \mathcal{C}^1(I, E).
4.3 Théorème de Cauchy linéaire
Théorème 4.1 — (Théorème de Cauchy linéaire)
Soient a : I \to \mathcal{L}(E) et b : I \to E des applications continues. Alors pour tout (t_0, x_0) \in I \times E, le problème de Cauchy : \begin{cases} x'(t) = a(t)(x(t)) + b(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} admet une unique solution globale définie sur I.
Proposition 4.2 — (Mise sous forme intégrale)
La solution du problème de Cauchy peut être mise sous forme intégrale : x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t \left(a(s)(x(s)) + b(s)\right)\, ds
4.4 Systèmes homogènes à coefficients constants
Définition 4.3 — (Système différentiel homogène à coefficients constants)
Un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants est une équation de la forme : x'(t) = a(x(t)), \quad a \in \mathcal{L}(E)
Si \mathcal{B} est une base de E et A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(a), le système s’écrit : X' = AX
4.5 Exponentielle d’un endomorphisme et d’une matrice
Définition 4.4 — (Exponentielle d’un endomorphisme et d’une matrice)
Soit a \in \mathcal{L}(E). L’exponentielle de a est définie par : \exp(a) = e^a = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a^k}{k!} La série converge normalement.
Théorème 4.2 — (Résolution du problème de Cauchy)
Soient x_0 \in E et a \in \mathcal{L}(E). La solution globale du problème de Cauchy : \begin{cases} x'(t) = a(x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} est définie sur \mathbb{R} par : t \mapsto \exp((t - t_0)a)(x_0) = e^{(t-t_0)a}(x_0)
Proposition 4.3 — (Traduction matricielle)
Si A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(a), la solution du système X' = AX avec X(t_0) = X_0 est : X(t) = e^{(t-t_0)A} X_0
Exemple 4.1 — (Cas diagonalisable)
Si A est diagonalisable : A = PDP^{-1} avec D = \mathrm{Diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), alors : e^{tA} = P \, \mathrm{Diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t}) \, P^{-1}
On se limite aux deux cas : a diagonalisable ou \dim E \leq 3.
5 Méthode de variation des constantes
5.1 Système fondamental de solutions
Définition 5.1 — (Système fondamental de solutions)
Soit x' = a(t)x une équation différentielle linéaire homogène. Un système fondamental de solutions est une famille de solutions (x_1, \ldots, x_n) telle que pour tout t_0 \in I, la famille (x_1(t_0), \ldots, x_n(t_0)) soit une base de E.
Proposition 5.1 — (Caractérisation)
Une famille (x_1, \ldots, x_n) de solutions de x' = a(t)x est un système fondamental de solutions si et seulement si : \forall t_0 \in I, \quad (x_1(t_0), \ldots, x_n(t_0)) \text{ est une base de } E
5.2 Méthode de variation des constantes
Théorème 5.1 — (Variation des constantes)
Soit (x_1, \ldots, x_n) un système fondamental de solutions de l’équation homogène x' = a(t)x. Pour résoudre l’équation complète x' = a(t)x + b(t), on cherche une solution de la forme : x(t) = \lambda_1(t) x_1(t) + \lambda_2(t) x_2(t) + \cdots + \lambda_n(t) x_n(t)
En substituant dans l’équation et en imposant la condition : \lambda_1'(t) x_1(t) + \lambda_2'(t) x_2(t) + \cdots + \lambda_n'(t) x_n(t) = 0 on obtient un système linéaire en \lambda_1', \ldots, \lambda_n' dont la résolution permet de déterminer les \lambda_i.
Dans les exercices pratiques, on se limite au cas de la dimension 2.
5.3 Cas des systèmes à coefficients constants
Proposition 5.2 — (Expression intégrale des solutions)
Pour un système différentiel à coefficients constants X' = AX + B(t), la solution est donnée par : X(t) = e^{(t-t_0)A} X_0 + \int_{t_0}^t e^{(t-s)A} B(s)\, ds
5.4 Adaptation aux équations scalaires du second ordre
Proposition 5.3 — (Adaptation aux équations scalaires du second ordre)
Pour une équation scalaire du second ordre y'' + ay' + by = f(t) avec a, b \in \mathbb{K} constants, la méthode de variation des constantes s’applique en cherchant une solution de la forme : y(t) = \lambda_1(t) y_1(t) + \lambda_2(t) y_2(t) où (y_1, y_2) est un système fondamental de solutions de l’équation homogène.
6 Exercices
Exercice 6.1
Résoudre le système différentiel : \begin{cases} x' = x + y \\ y' = x - y \end{cases} en diagonalisant la matrice A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Exercice 6.2
Résoudre l’équation différentielle y'' + 4y = \cos(2t) en utilisant la méthode de variation des constantes.
Exercice 6.3
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculer e^{tA} et résoudre le système X' = AX avec X(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
Exercice 6.4
Résoudre l’équation différentielle y' - 2y = e^{3t} avec y(0) = 1 en utilisant la transformée de Laplace.
Exercice 6.5
Soit A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) diagonalisable avec P^{-1}AP = \mathrm{Diag}(1, 2, 3). Résoudre le système X' = AX avec X(0) = P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
Exercice 6.6 — (Équation de Bessel)
On considère l’équation différentielle : x^2 y'' + xy' + (x^2 - 1)y = 0
- Chercher une solution développable en série entière y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n.
- Déterminer la relation de récurrence sur les coefficients a_n.
Exercice 6.7 — (Problème de raccordement)
On considère l’équation différentielle : xy' + y = e^x
- Résoudre l’équation sur ]0, +\infty[.
- Étudier le comportement des solutions en 0^+.