TD — Équations différentielles linéaires
Chapitre 11
TSI (2e année) — TD du Chapitre 11. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 et 2, problème de Cauchy, structure des solutions, systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants.
Exercice 1
Résoudre les équations différentielles du premier ordre :
- y' + y = e^x
- y' - 2y = 3x + 1
- y' + \frac{1}{x}y = x^2 sur ]0,+\infty[
Exercice 2
Résoudre le problème de Cauchy : \begin{cases} y' + y = e^x \\ y(0) = 1 \end{cases}
Exercice 3
Résoudre les équations du second ordre à coefficients constants :
- y'' - 3y' + 2y = 0
- y'' + 2y' + y = 0
- y'' + 4y = 0
- y'' - 5y' + 6y = e^x
Exercice 4
Résoudre le problème de Cauchy : \begin{cases} y'' + 4y = \sin(2x) \\ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \end{cases}
Indication : Le second membre est solution de l’homogène. Chercher y_p = x(A\cos 2x + B\sin 2x).
Exercice 5
Montrer que l’ensemble des solutions de y' = a(t)y (sans second membre) est un espace vectoriel de dimension 1.
Exercice 6
Montrer que l’ensemble des solutions de y'' + a(t)y' + b(t)y = 0 est un espace vectoriel de dimension 2.
Exercice 7
Résoudre le système : \begin{cases} x' = x + 2y \\ y' = 2x + y \end{cases}
Indication : Poser u = x+y, v = x-y.
Exercice 8
Résoudre le système X' = AX avec A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Indication : A n’est pas diagonalisable. Utiliser e^{tA} = e^t(I_2 + tN) où N = A - I_2.
Exercice 9
Résoudre y' + y = \frac{1}{1+e^x} sur \mathbb{R} par variation de la constante.
Exercice 10
Résoudre y'' - 4y' + 4y = e^{2x} sur \mathbb{R}.
Indication : Racine double r=2. Chercher y_p = Ax^2 e^{2x}.