TD — Fonctions de plusieurs variables
Chapitre 12
TSI (2e année) — TD du Chapitre 12. Introduction à la topologie de \mathbb{R}^n, limite et continuité, dérivées partielles, applications de classe \mathcal{C}^k (k = 1 ou 2), gradient, règle de la chaîne, équations aux dérivées partielles, extremums d’une fonction de deux variables, applications géométriques (tangentes, plans tangents).
Exercice 1
Soit f(x,y) = x^2 y + e^{xy}. Calculer \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} et \nabla f.
Exercice 2
Soit f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}. Montrer que f n’est pas différentiable en (0,0).
Exercice 3
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} différentiable. Montrer que D_h f(a) = df(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle pour tout vecteur h.
Exercice 4
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1 et \gamma : I \to \mathbb{R}^2 de classe \mathcal{C}^1. Montrer que (f \circ \gamma)'(t) = df(\gamma(t))(\gamma'(t)) (règle de la chaîne).
Exercice 5
Déterminer le plan tangent au graphe de f(x,y) = x^2 + y^2 au point (1,1,2).
Exercice 6
Montrer le théorème de Schwarz : si f est de classe \mathcal{C}^2, alors \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.
Exercice 7
Résoudre l’équation aux dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y} = 0 en utilisant un changement de variable linéaire.
Exercice 8
Résoudre l’équation des ondes \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 en posant u = x+y, v = x-y.
Exercice 9
Soit f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
- f admet-elle un extremum global ?
Exercice 10
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2. Montrer que si \nabla f(a) = 0 et la matrice hessienne est définie positive, alors f admet un minimum local en a.