TD — Variables aléatoires à densité
Chapitre 13
TSI (2e année) — TD du Chapitre 13. Variables aléatoires à densité, lois usuelles (uniforme, exponentielle, gamma, gaussienne), espérance et moments, produit de convolution, inégalités, convergence en loi, théorème de la limite centrée.
Exercice 1
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction. Montrer que f est une densité de probabilité si et seulement si :
- f \geq 0 sur \mathbb{R}.
- f est continue par morceaux.
- \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, dt = 1.
Exercice 2
Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([a,b]). Montrer que E(X) = \frac{a+b}{2} et V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.
Exercice 3
Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda). Montrer que :
- E(X) = \frac{1}{\lambda} et V(X) = \frac{1}{\lambda^2}.
- P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) (absence de mémoire).
Exercice 4
Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2). Montrer que X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).
Exercice 5
Soient X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2) et Y \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2) indépendantes. Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2).
Indication : Utiliser le produit de convolution des densités.
Exercice 6
Soient X et Y deux variables aléatoires à densité indépendantes. Montrer que la densité de X + Y est le produit de convolution f_X * f_Y : (f_X * f_Y)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u) f_Y(t-u)\, du
Exercice 7
Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance. Montrer l’inégalité de Markov : P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} pour tout a > 0.
Exercice 8
Soit X une variable aléatoire admettant une variance. Montrer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Exercice 9
Soit (X_n) une suite de variables aléatoires avec X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \lambda/n). Montrer que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).
Exercice 10
Énoncer le théorème de la limite centrée : soit (X_n) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre 2. Alors : \frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\left(\sum_{k=1}^n X_k - nm\right) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)