Variables aléatoires à densité

Chapitre 13

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (2e année) — Chapitre 13. Variables aléatoires à densité, lois usuelles (uniforme, exponentielle, gamma, gaussienne), espérance et moments, produit de convolution, inégalités, convergence en loi, théorème de la limite centrée.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI.

Dans tout ce chapitre, (\Omega, \mathcal{T}, P) désigne un espace probabilisé.

1 Variables aléatoires à densité

1.1 Densité de probabilité

Définition 1.1 — (Densité de probabilité)

On dit que f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est une densité de probabilité si :

  1. f est continue sauf en un nombre fini de points.
  2. f est positive : \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) \geq 0.
  3. L’intégrale \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, dt converge et : \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, dt = 1

Exemple 1.1

  1. Pour (a, b) \in \mathbb{R}^2 avec a < b, la fonction f(x) = \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a,b]}(x) est une densité de probabilité.

  2. Pour \lambda > 0, la fonction g(x) = \mathbb{1}_{\mathbb{R}^+}(x) \lambda e^{-\lambda x} est une densité de probabilité.

1.2 Variable aléatoire à densité

Définition 1.2 — (Variable aléatoire à densité)

Une variable aléatoire réelle X est dite à densité (ou de loi continue) si sa fonction de répartition F_X est continue sur \mathbb{R} et de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R} privé d’un sous-ensemble fini D (éventuellement vide).

Dans ce cas, on appelle densité de X la fonction définie sur \mathbb{R} par : f_X(t) = \begin{cases} F_X'(t) & \text{si } t \in \mathbb{R} \setminus D \\ 0 & \text{si } t \in D \end{cases}

Théorème 1.1 — (CNS pour qu’une variable aléatoire soit à densité)

Une variable aléatoire X admet une densité si et seulement si F_X est continue sur \mathbb{R} et de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R} privé d’un nombre fini de points.

Dans ce cas, une densité est définie par f_X(x) = F_X'(x) si F_X est \mathcal{C}^1 en x, et par une valeur arbitraire positive sinon.

  1. Pour des variables aléatoires à densité, trouver la loi c’est en trouver une densité.
  2. Modifier la valeur de f en un nombre fini de points ne change pas la valeur de \int_{-\infty}^x f, il n’y a donc pas unicité de la densité.

Proposition 1.1 — (Existence d’une variable aléatoire à densité fixée)

Soit f une densité de probabilité, alors il existe une variable aléatoire à densité X dont f est une densité.

Proposition 1.2 — (Calcul de probabilités pour une variable aléatoire à densité)

Soit X une variable aléatoire dont f est une densité et F sa fonction de répartition. Pour tout (a, b) \in \mathbb{R}^2 avec a < b :

  1. P(X = a) = 0
  2. P(X \leq a) = F(a) = \int_{-\infty}^a f(t)\, dt
  3. P(X \geq b) = 1 - F(b) = \int_b^{+\infty} f(t)\, dt
  4. P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a)

Contrairement aux variables aléatoires discrètes, pour tout x \in \mathbb{R}, P(X = x) = 0, et cela ne donne pas d’information sur X. Une variable aléatoire à densité est caractérisée soit par « sa » densité, soit par sa fonction de répartition.

1.3 Variables aléatoires usuelles à densité

Définition 1.3 — (Loi uniforme)

On dit que X suit une loi uniforme sur [a, b] (où (a, b) \in \mathbb{R}^2 avec a < b) si t \mapsto \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a,b]}(t) est une densité de X. On note X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]).

Définition 1.4 — (Loi exponentielle)

On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda > 0 si t \mapsto \mathbb{1}_{\mathbb{R}^+}(t) \lambda e^{-\lambda t} est une densité de X. On note X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda).

Exemple 1.2 — (Fonctions de répartition des lois usuelles)

  1. Si X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]), alors : F_X(x) = \frac{x - a}{b - a} \mathbb{1}_{[a,b]}(x) + \mathbb{1}_{]b, +\infty[}(x)

  2. Si X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), alors : F_X(x) = (1 - e^{-\lambda x}) \mathbb{1}_{\mathbb{R}^+}(x)

Si X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), alors pour tout (s, t) \in (\mathbb{R}^{+*})^2 : P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

On dit qu’il y a absence de mémoire ou invariance temporelle.

Définition 1.5 — (Loi gamma)

On dit que X suit une loi gamma de paramètres (\alpha, \lambda) avec \alpha > 0 et \lambda > 0 si : f_X(t) = \begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} t^{\alpha - 1} e^{-\lambda t} & \text{si } t > 0 \\ 0 & \text{si } t \leq 0 \end{cases} où \Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t}\, dt est la fonction gamma d’Euler.

On note X \hookrightarrow \Gamma(\alpha, \lambda).

  • La loi exponentielle \mathcal{E}(\lambda) est la loi gamma \Gamma(1, \lambda).
  • La loi \chi^2 à n degrés de liberté est la loi gamma \Gamma(n/2, 1/2).

2 Espérance et moments

2.1 Espérance

Définition 2.1 — (Espérance d’une variable aléatoire à densité)

On considère une variable aléatoire réelle X de loi à densité de densité f_X. On dit que la variable aléatoire X admet une espérance si la fonction x \mapsto x \cdot f_X(x) est intégrable sur \mathbb{R}, c’est-à-dire si \int_{-\infty}^{+\infty} |x| f_X(x)\, dx converge.

On appelle alors espérance de X et on note E(X) le réel : E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_X(x)\, dx

Exemple 2.1 — (Espérance des lois usuelles à densité)

  1. Si X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]), alors X admet une espérance et : E(X) = \frac{a + b}{2}

  2. Si X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), alors X admet une espérance et : E(X) = \frac{1}{\lambda}

Exemple 2.2

Si, pour t < 1, f(t) = 0 et pour t \geq 1, f(t) = \frac{1}{t^2} est une densité de X, est-ce que X admet une espérance ?

On calcule \int_1^{+\infty} |t| \cdot \frac{1}{t^2}\, dt = \int_1^{+\infty} \frac{1}{t}\, dt = +\infty. Donc X n’admet pas d’espérance.

2.2 Formule de transfert

Théorème 2.1 — (Formule de transfert)

Soit X une variable aléatoire à densité f et \varphi : I \to \mathbb{R} une fonction continue sur l’intervalle I privé d’un nombre fini de points, avec X(\Omega) \subset I. Alors \varphi(X) admet une espérance si et seulement si \int_I \varphi(x) f(x)\, dx converge absolument. Dans ce cas : E(\varphi(X)) = \int_I \varphi(x) f(x)\, dx

2.3 Moments

Définition 2.2 — (Moment d’ordre \boldsymbol{k})

Soit k \in \mathbb{N}^*. On dit que la variable aléatoire X admet un moment d’ordre k si la fonction x \mapsto x^k \cdot f_X(x) est intégrable sur \mathbb{R}. On appelle alors moment d’ordre k de X le réel : E(X^k) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_X(x)\, dx

2.4 Propriétés de l’espérance

Proposition 2.1 — (Linéarité de l’espérance)

Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant chacune une espérance. Alors :

  1. Pour tout (a, b) \in \mathbb{R}^2, la variable aléatoire aX + bY admet une espérance et : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
  2. Si X \geq 0, alors E(X) \geq 0.
  3. Si X \leq Y, alors E(X) \leq E(Y).

Proposition 2.2 — (Espérance et indépendance)

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes admettant chacune une espérance, alors XY admet une espérance et : E(XY) = E(X) \cdot E(Y)

3 Variance

3.1 Définition et propriétés

Définition 3.1 — (Variance et écart-type)

Soit X une variable aléatoire à densité admettant un moment d’ordre 2.

  1. On appelle variance de X le réel positif noté V(X) et défini par : V(X) = E\left((X - E(X))^2\right)

  2. On appelle écart-type de X le réel noté \sigma(X) et défini par : \sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Définition 3.2 — (Variable centrée et réduite)

Soit X une variable aléatoire réelle à densité.

  • On dit que la variable aléatoire X est centrée si E(X) = 0.
  • On dit que la variable aléatoire X est réduite si V(X) = 1.

Proposition 3.1 — (Propriétés de la variance)

Soit X une variable aléatoire à densité admettant un moment d’ordre 2.

  1. V(X) \geq 0
  2. Pour tout (a, b) \in \mathbb{R}^2, aX + b admet une variance et : V(aX + b) = a^2 V(X) (la variance est quadratique)
  3. Y admet une variance si et seulement si Y admet un moment d’ordre 2, alors : V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 (formule de König-Huygens)
  4. Si V(X) > 0, alors X^* = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)} est centrée réduite, appelée variable centrée réduite associée à X.

Proposition 3.2 — (Variance de la somme de variables aléatoires indépendantes)

  1. Si X et Y sont indépendantes et admettent des variances, alors X + Y admet une variance et : V(X + Y) = V(X) + V(Y)

  2. Si X_1, \ldots, X_n sont indépendantes et admettent des variances, alors \sum_{i=1}^n X_i admet une variance et : V\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n V(X_i)

Exemple 3.1 — (Variances des lois usuelles à densité)

  1. Si X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]), alors X admet une variance et : V(X) = \frac{(b - a)^2}{12}

  2. Si X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), alors X admet une variance et : V(X) = \frac{1}{\lambda^2}

3.2 Covariance et coefficient de corrélation

Définition 3.3 — (Covariance)

Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant chacune un moment d’ordre 2. La variable aléatoire (X - E(X))(Y - E(Y)) admet une espérance, appelée covariance de X et Y : \mathrm{cov}(X, Y) = E\left((X - E(X))(Y - E(Y))\right)

Proposition 3.3

Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant un moment d’ordre 2. Alors : \mathrm{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)

  1. La covariance définit une application bilinéaire symétrique sur L^2(\Omega, \mathcal{T}, P).
  2. Pour tout X \in L^2(\Omega, \mathcal{T}, P) : \mathrm{cov}(X, X) = V(X).
  3. Si X et Y admettent des moments d’ordre 2, alors : |\mathrm{cov}(X, Y)| \leq \sigma(X) \sigma(Y) (C’est une conséquence immédiate de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.)

Proposition 3.4

Si X et Y sont indépendantes et admettent des moments d’ordre 2, alors : \mathrm{cov}(X, Y) = 0

Définition 3.4 — (Coefficient de corrélation linéaire)

Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant un moment d’ordre 2 de lois non certaines (c’est-à-dire de variances non nulles). Le coefficient de corrélation linéaire du couple (X, Y) est : \rho(X, Y) = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}

Proposition 3.5 — (Propriétés du coefficient de corrélation)

  1. \rho(X, Y) \in [-1, 1].
  2. \rho(X, Y) = 1 si et seulement si \exists \alpha > 0 tel que Y = \alpha X + \beta presque sûrement.
  3. \rho(X, Y) = -1 si et seulement si \exists \alpha < 0 tel que Y = \alpha X + \beta presque sûrement.
  4. Si X et Y sont indépendantes, alors \rho(X, Y) = 0. La réciproque est fausse.

4 Inégalités

4.1 Inégalité de Markov

Proposition 4.1 — (Inégalité de Markov)

Soient a > 0 et X une variable aléatoire positive admettant une espérance. Alors : P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}

4.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème 4.1 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Soit X une variable aléatoire réelle à densité admettant une variance. Alors pour tout a > 0 : P(|X - E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}

Preuve. On applique l’inégalité de Markov à la variable aléatoire positive (X - E(X))^2 : P(|X - E(X)| \geq a) = P((X - E(X))^2 \geq a^2) \leq \frac{E((X - E(X))^2)}{a^2} = \frac{V(X)}{a^2}

4.3 Inégalité de Jensen

Théorème 4.2 — (Inégalité de Jensen)

Soit X une variable aléatoire réelle admettant une espérance, f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction convexe sur \mathbb{R}, et Y = f(X) admettant une espérance. Alors : f(E(X)) \leq E(f(X))

5 Produit de convolution

5.1 Somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes

Théorème 5.1 — (Densité de la somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes)

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de densité respective f et g. Alors X + Y est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction f * g : (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(x - t)\, dt appelée produit de convolution de f et g.

Exemple 5.1 — (Somme de deux lois uniformes)

Soient X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]) et Y \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]) indépendantes. Alors X + Y est à densité et une densité de X + Y est : (f * f)(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & \text{si } 1 < x \leq 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

C’est une densité triangulaire.

Exemple 5.2 — (Maximum de deux lois uniformes)

Soient X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]) et Y \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]) indépendantes. Alors : F_{\max(X,Y)}(x) = P(\max(X, Y) \leq x) = P(X \leq x) \cdot P(Y \leq x) = F_X(x) \cdot F_Y(x)

Donc \max(X, Y) admet une densité f_{\max(X,Y)}(x) = 2x \mathbb{1}_{[0,1]}(x).

Exemple 5.3 — (Minimum de lois uniformes)

Soit (X_1, X_2, \ldots, X_n) une famille de variables aléatoires indépendantes où pour tout i \in \{1, \ldots, n\}, X_i \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]). Alors : F_{\min(X_1, \ldots, X_n)}(x) = 1 - P(\min(X_1, \ldots, X_n) > x) = 1 - (1 - x)^n pour x \in [0, 1]. Donc \min(X_1, \ldots, X_n) admet une densité f_{\min}(x) = n(1-x)^{n-1} \mathbb{1}_{[0,1]}(x).

6 Loi normale

6.1 Loi normale centrée réduite

Définition 6.1 — (Loi normale centrée réduite)

On dit que X suit la loi normale centrée réduite si t \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} est une densité de X. On note X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).

Proposition 6.1 — (Espérance et variance de la loi normale centrée réduite)

Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1), alors X admet une espérance et une variance : E(X) = 0, \quad V(X) = 1

  1. On ne dispose pas d’expression de la fonction de répartition d’une loi normale : \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\, dt ne se calcule pas explicitement. On peut soit utiliser une table de valeurs, soit la calculatrice.

  2. Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1) et x > 0, alors P(X \leq -x) = P(X \geq x) (par symétrie de la densité).

6.2 Loi normale de paramètres \mu et \sigma^2

Définition 6.2 — (Loi normale)

On dit que X suit la loi normale de paramètres \mu \in \mathbb{R} et \sigma^2 (avec \sigma > 0) si : f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} est une densité de X. On note X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2).

Proposition 6.2 — (Espérance et variance de la loi normale)

Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), alors X admet une espérance et une variance : E(X) = \mu, \quad V(X) = \sigma^2

Preuve. Montrons que \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\, dx converge et déterminer sa valeur. On pose t = \frac{x - \mu}{\sigma} de sorte que x = \sigma t + \mu et dx = \sigma\, dt. Comme x \mapsto \frac{x - \mu}{\sigma} est \mathcal{C}^1 et strictement monotone, \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\, dx et \int_{-\infty}^{+\infty} (\sigma t + \mu) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\, dt ont même nature et sont égales en cas de convergence. Or \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\, dt converge (car une loi normale centrée réduite admet une espérance qui vaut 0) et \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\, dt converge (densité d’une loi normale centrée réduite). Par combinaison linéaire d’intégrales convergentes : \int_{-\infty}^{+\infty} (\sigma t + \mu) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\, dt = \sigma \cdot 0 + \mu \cdot 1 = \mu

Ainsi, X admet une espérance et E(X) = \mu. On montre de même que V(X) = \sigma^2 en utilisant la formule de transfert pour (X - \mu)^2.

6.3 Translation et dilatation d’une loi normale

Proposition 6.3 — (Translation et dilatation)

Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) et (a, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, alors : aX + b \hookrightarrow \mathcal{N}(a\mu + b, a^2\sigma^2)

En particulier, X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).

6.4 Sommes de variables aléatoires normales indépendantes

Proposition 6.4 — (Sommes de variables aléatoires normales indépendantes)

  1. Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) et Y \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2) sont indépendantes, alors : X + Y \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu + \mu_1, \sigma^2 + \sigma_1^2)

  2. Si X_1, \ldots, X_n sont indépendantes et pour tout i \in \{1, \ldots, n\}, X_i \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2), alors : \sum_{i=1}^n X_i \hookrightarrow \mathcal{N}\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\right)

Preuve. Soient X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) et Y \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2) indépendantes. Notons f et g des densités respectives de X et Y, et Z = X + Y. Puisque X et Y sont des variables aléatoires indépendantes à densité, Z est une variable à densité. D’après la formule du produit de convolution, une densité h de Z vérifie : h(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(x - t)\, dt = \frac{1}{2\pi\sigma\sigma_1} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\sigma_1^2(t-\mu)^2 + \sigma^2(x-t-\mu_1)^2}{2\sigma^2\sigma_1^2}}\, dt

En complétant le carré et en effectuant un changement de variable, on obtient : h(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma^2 + \sigma_1^2)}} e^{-\frac{(x - \mu - \mu_1)^2}{2(\sigma^2 + \sigma_1^2)}}

On reconnaît une densité de la loi normale de paramètres m = \mu + \mu_1 et s^2 = \sigma^2 + \sigma_1^2.

7 Convergence en loi

7.1 Définition

Définition 7.1 — (Convergence en loi)

Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires réelles (discrètes ou à densité) et X une variable aléatoire. On dit que (X_n) converge en loi vers X, noté X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X, si pour toute fonction f continue et bornée sur \mathbb{R} : \lim_{n \to +\infty} E(f(X_n)) = E(f(X))

Proposition 7.1 — (Caractérisation par la fonction de répartition)

Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire. Alors X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X si et seulement si pour tout x \in \mathbb{R} où F_X est continue : \lim_{n \to +\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)

7.2 Convergence en probabilité

Définition 7.2 — (Convergence en probabilité)

Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires réelles (discrètes ou à densité) et Y une variable aléatoire. On dit que (X_n) converge en probabilité vers Y, noté X_n \xrightarrow{P} Y, si : \forall \varepsilon > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - Y| \geq \varepsilon) = 0

Proposition 7.2

La convergence en probabilité implique la convergence en loi. La réciproque est fausse.

7.3 Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson

Théorème 7.1 — (Théorème de Poisson)

Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires telles que X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p_n) avec np_n \to \lambda > 0. Alors : X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)

Autrement dit, pour tout k \in \mathbb{N} : P(X_n = k) = \binom{n}{k} p_n^k (1 - p_n)^{n-k} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

La loi de Poisson est la loi des événements rares : elle modélise le nombre d’occurrences d’un événement de faible probabilité dans un grand nombre d’essais indépendants.

7.4 Loi faible des grands nombres

Théorème 7.2 — (Loi faible des grands nombres)

Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires réelles (discrètes ou à densité) deux à deux indépendantes et suivant une même loi. Si celles-ci admettent un moment d’ordre 2, alors en introduisant m leur espérance commune et S_n = \sum_{k=0}^n X_k : \forall \varepsilon > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| \geq \varepsilon\right) = 0

8 Théorème de la limite centrée

Théorème 8.1 — (Théorème de la limite centrée)

Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de variables aléatoires réelles (discrètes ou à densité) mutuellement indépendantes et suivant une même loi. Si celles-ci admettent un moment d’ordre 2 et en introduisant m et \sigma leur espérance et variance communes respectivement, alors la suite : \left(\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\left(\sum_{k=1}^n X_k - nm\right)\right)_{n \geq 1} converge en loi vers la variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite \mathcal{N}(0, 1).

Le théorème de la limite centrée signifie que la vitesse de convergence de la loi des grands nombres est en \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. Ce théorème admet de nombreuses applications, notamment en statistiques.

9 Tableau comparatif des trois types de variables aléatoires

Proposition 9.1 — (Tableau comparatif)

Propriété VA discrète finie VA discrète infinie VA à densité
Loi P(X = x_k) = p_k P(X = x_k) = p_k f_X densité
Condition \sum p_k = 1 \sum p_k = 1 \int f = 1
P(X = a) p_a p_a 0
P(a \leq X \leq b) \sum_{a \leq x_k \leq b} p_k \sum_{a \leq x_k \leq b} p_k \int_a^b f
Espérance \sum x_k p_k \sum x_k p_k \int x f(x)\, dx
Variance \sum (x_k - E(X))^2 p_k \sum (x_k - E(X))^2 p_k \int (x - E(X))^2 f(x)\, dx

10 Exercices

Exercice 10.1 — (Loi uniforme)

Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]).

  1. Déterminer la densité et la fonction de répartition de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Soit Y = X^2. Déterminer la loi de Y.

Exercice 10.2 — (Loi exponentielle)

Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda).

  1. Déterminer la fonction de répartition de X.
  2. Montrer que P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) pour tout (s, t) \in (\mathbb{R}^{+*})^2.
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 10.3 — (Produit de convolution)

Soient X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]) et Y \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]) indépendantes.

  1. Déterminer la loi de X + Y.
  2. Déterminer la loi de \max(X, Y).
  3. Soit (X_1, \ldots, X_n) une famille de variables aléatoires indépendantes suivant toutes \mathcal{U}([0, 1]). Déterminer la loi de \min(X_1, \ldots, X_n).

Exercice 10.4 — (Loi normale)

Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2).

  1. Montrer que X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).
  2. Soit a \in \mathbb{R}. Exprimer P(X \leq a) en fonction de la fonction \Phi de répartition de la loi normale centrée réduite.
  3. Soient X \hookrightarrow \mathcal{N}(2, 4) et Y \hookrightarrow \mathcal{N}(-1, 9) indépendantes. Déterminer la loi de X + Y.

Exercice 10.5 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Soit X une variable aléatoire à densité avec E(X) = 5 et V(X) = 4.

  1. Majorer P(|X - 5| \geq 3).
  2. Minorer P(3 \leq X \leq 7).

Exercice 10.6 — (Loi gamma)

Soit X \hookrightarrow \Gamma(\alpha, \lambda) avec \alpha > 0 et \lambda > 0.

  1. Vérifier que f_X est bien une densité de probabilité.
  2. Calculer E(X) et V(X) en fonction de \alpha et \lambda.
  3. Montrer que la loi exponentielle \mathcal{E}(\lambda) est un cas particulier de la loi gamma.

Exercice 10.7 — (Théorème de la limite centrée)

On lance n fois un dé équilibré. Notons S_n la somme des résultats obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. En utilisant le théorème de la limite centrée, donner une approximation de P(S_n \leq 3,2n) pour n grand.

Exercice 10.8 — (Convergence de Poisson)

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires avec X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \frac{\lambda}{n}).

  1. Montrer que pour tout k \in \mathbb{N} : P(X_n = k) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
  2. Conclure que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).

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Chapitre 13 : Variables aléatoires à densité