TD — Séries de Fourier
Chapitre 10
TSI (2e année) — TD du Chapitre 10. Fonctions définies par morceaux, coefficients et séries de Fourier, théorème de Parseval, théorème de Dirichlet, interprétations en sciences physiques et industrielles.
Exercice 1
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction T-périodique continue par morceaux. Montrer que l’ensemble des fonctions T-périodiques continues par morceaux forme un espace vectoriel.
Exercice 2
Soit f une fonction T-périodique. Montrer que : \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\, dt = \frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T} f(t)\, dt pour tout \alpha \in \mathbb{R}.
Exercice 3
Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f(t) = t sur [-\pi, \pi] (prolongée par 2\pi-périodicité).
Indication : f est impaire, donc a_n = 0. Calculer b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t \sin(nt)\, dt.
Exercice 4
Calculer les coefficients de Fourier de la fonction créneau : f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 < t < \pi \\ -1 & \text{si } -\pi < t < 0 \end{cases}
Exercice 5
Énoncer le théorème de Dirichlet : si f est T-périodique, continue par morceaux et de classe \mathcal{C}^1 par morceaux, alors la série de Fourier de f converge en tout point t vers \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}.
Exercice 6
Énoncer et démontrer le théorème de Parseval : \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |f(t)|^2\, dt = |a_0|^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(|a_n|^2 + |b_n|^2)
Exercice 7
En utilisant le théorème de Parseval pour f(t) = t sur [-\pi, \pi], calculer \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}.
Indication : On doit trouver \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.
Exercice 8
En utilisant la série de Fourier de la fonction créneau, calculer \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}.
Indication : On doit trouver \frac{\pi}{4}.
Exercice 9
Soit f une fonction T-périodique de classe \mathcal{C}^1 par morceaux. Montrer que la série de Fourier de f converge uniformément vers f si f est continue.
Exercice 10
Interpréter le théorème de Parseval en termes de puissance moyenne d’un signal périodique en physique.