TD — Espaces préhilbertiens réels. Endomorphismes des espaces euclidiens
Chapitre 09
TSI (2e année) — TD du Chapitre 09. Produits scalaires, orthogonalité, projection orthogonale, matrices orthogonales, isométries vectorielles (plan et espace), matrices symétriques réelles, théorème spectral.
Exercice 1
Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| et préciser le cas d’égalité.
Exercice 2
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien E. Montrer que E = F \oplus F^\perp.
Exercice 3
Soit E un espace euclidien et u un vecteur non nul. Soient p la projection orthogonale sur H = u^\perp et s la symétrie orthogonale par rapport à H.
- Montrer que \forall x \in E, \quad p(x) = x - \frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
- Montrer que \forall x \in E, \quad s(x) = x - 2\frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
Exercice 4
Appliquer Gram-Schmidt à (1, X, X^2) dans \mathbb{R}_2[X] muni de \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\, dt.
Exercice 5
Soit u un endomorphisme orthogonal d’un espace euclidien. Montrer que :
- u conserve le produit scalaire.
- \det(u) \in \{-1, 1\}.
- Si F est stable par u, alors F^\perp est stable par u.
Exercice 6
Soit E un espace euclidien de dimension 2. Montrer que toute isométrie directe est une rotation et que toute isométrie indirecte est une réflexion.
Exercice 7
Soit E un espace euclidien de dimension 3. Montrer que toute isométrie directe est soit l’identité, soit une rotation autour d’un axe.
Exercice 8
Soit f un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Montrer que les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Exercice 9
Soit u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Montrer que u est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).
Exercice 10
Soit A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) une matrice symétrique réelle. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que A = PDP^{-1} = PDP^T.
Cours
Chapitre 09 : Espaces préhilbertiens réels. Endomorphismes des espaces euclidiens