TD — Espaces probabilisés ; variables aléatoires réelles ; cas discret
Chapitre 08
TSI (2e année) — TD du Chapitre 08. Tribus, espaces probabilisés, variables aléatoires et lois, variables aléatoires discrètes, espérance et moments, fonctions génératrices, inégalités (Markov, Bienaymé-Tchebychev, Jensen), convergence en probabilité et en loi, loi faible des grands nombres.
Exercice 1
Soit \Omega un ensemble fini. Montrer que \mathcal{P}(\Omega) est une tribu sur \Omega.
Exercice 2
On lance deux dés équilibrés. Calculer :
- P(\text{somme} = 7)
- P(\text{deux } 6)
- P(\text{au moins un } 6)
Exercice 3
Une urne contient 5 boules rouges et 3 noires. On tire 2 boules sans remise.
- P(\text{2 rouges})
- P(\text{rouge puis noire})
- P(\text{au moins une rouge})
Exercice 4
Une maladie touche 1% de la population. Un test a une sensibilité de 0,95 et une spécificité de 0,95. Calculer P(\text{malade} \mid \text{test positif}).
Indication : Bayes.
Exercice 5
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p). Montrer que E(X) = np et V(X) = np(1-p).
Exercice 6
Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).
- Déterminer la fonction génératrice G_X(s).
- En déduire E(X) et V(X).
Exercice 7
Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance. Montrer l’inégalité de Markov : P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a} pour tout a > 0.
Exercice 8
Soit X une variable aléatoire admettant une variance. Montrer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Exercice 9
Soit (X_n) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre 2. Montrer la loi faible des grands nombres : \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \xrightarrow{P} E(X_1)
Exercice 10
Soient X et Y indépendantes avec X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_2). Montrer que X+Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2).
Cours
Chapitre 08 : Espaces probabilisés ; variables aléatoires réelles ; cas discret