TD — Compléments de probabilités sur un univers fini

Chapitre 10

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT1 (1re année) — TD du Chapitre 10. Coefficients binomiaux, lois usuelles finies, loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale, binôme de Newton.

Exercice 1

Calculer :

  1. \binom{5}{2}
  2. \binom{8}{3}
  3. \binom{10}{0}
  4. \binom{10}{10}
  5. \binom{10}{1}

Exercice 2

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N} et tout k \in \{0,\ldots,n\} : \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.

Exercice 3

Montrer la formule de Pascal : \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}.

Exercice 4

Développer à l’aide du binôme de Newton :

  1. (a+b)^4
  2. (x+1)^5
  3. (2x-1)^3

Exercice 5

Montrer que : \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}=2^n.

Indication : Utiliser le binôme de Newton avec a=b=1.

Exercice 6

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \{1,2,3,4,5\}.

  1. Donner la loi de X.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer V(X).

Exercice 7

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.

  1. Donner la loi de X.
  2. Calculer E(X).
  3. Calculer V(X).

Exercice 8

On lance 5 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles obtenus.

  1. Quelle est la loi de X ?
  2. Calculer P(X=2).
  3. Calculer P(X\geq 1).
  4. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 9

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On effectue 4 tirages avec remise. Soit X le nombre de boules rouges obtenues.

  1. Quelle est la loi de X ?
  2. Calculer P(X=0).
  3. Calculer P(X=1).
  4. Calculer E(X) et V(X).

Cours

📝 Chapitre 10 : Compléments de probabilités sur un univers fini