TD — Compléments d’analyse

Chapitre 09

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT1 (1re année) — TD du Chapitre 09. Suites réelles, convergence, limite monotone, continuité sur un intervalle, logarithme, exponentielle.

Exercice 1

Étudier la convergence des suites suivantes et déterminer leur limite lorsqu’elle existe :

  1. u_n=\frac{n+1}{n+2}
  2. v_n=\frac{2n^2+1}{n^2+n}
  3. w_n=\frac{(-1)^n}{n}
  4. a_n=n^2

Exercice 2

Soit (u_n) définie par u_0=1 et : u_{n+1}=\frac{u_n+2}{2}.

  1. Montrer que si u_n \leq 2, alors u_{n+1} \leq 2.
  2. Montrer que (u_n) est croissante.
  3. En déduire que (u_n) converge.
  4. Déterminer sa limite.

Exercice 3

Soit (u_n) définie par : u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.

Montrer que (u_n) est croissante et qu’elle diverge vers +\infty.

Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

  1. \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}
  2. \lim_{x\to 0^+} x\ln x
  3. \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2}
  4. \lim_{x\to -\infty} x^2e^x

Exercice 5

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :

  1. e^x=5
  2. \ln x=2
  3. e^{2x}-3e^x+2=0
  4. \ln(x)+\ln(x-1)=\ln 2

Exercice 6

Montrer que l’équation : e^x=x+2 admet au moins une solution dans [0,2].

Exercice 7

Montrer que la fonction f(x)=\ln x - x +1 est négative sur ]0,+\infty[.

Indication : Étudier ses variations.

Exercice 8

Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes sur [a,b].

Exercice 9

Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue telle que f(0)<0 et f(1)>0.

Montrer qu’il existe c \in ]0,1[ tel que f(c)=0.

Cours

📝 Chapitre 09 : Compléments d’analyse