Cours – Compléments d’analyse
Chapitre 09
ECT (1re année) — Chapitre 09. Suites réelles (convergence, limite monotone), limites de fonctions, continuité sur un intervalle (TVI, bornes atteintes), fonctions logarithme et exponentielle.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Suites réelles : convergence
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Convergence d’une suite)
(u_n) converge vers \ell \in \mathbb{R} si : \forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad |u_n - \ell| < \varepsilon
On note \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell.
Définition 1.2 — (Divergence)
(u_n) diverge vers +\infty si : \forall A > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N,\; u_n > A.
1.2 Opérations sur les limites
Proposition 1.1 — (Opérations)
Si u_n \to \ell et v_n \to m, alors :
- u_n + v_n \to \ell + m
- \lambda u_n \to \lambda \ell
- u_n v_n \to \ell m
- \dfrac{u_n}{v_n} \to \dfrac{\ell}{m} si m \neq 0
1.3 Limite monotone
Théorème 1.1 — (Théorème de convergence monotone)
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- Toute suite croissante non majorée diverge vers +\infty.
2 Continuité sur un intervalle
2.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 2.1 — (TVI)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. Pour tout y compris entre f(a) et f(b), il existe c \in [a,b] tel que f(c) = y.
En particulier, si f(a) < 0 < f(b), alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0.
2.2 Théorème des bornes atteintes
Théorème 2.2 — (Bornes atteintes)
Toute fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et atteint ses bornes : il existe x_1, x_2 \in [a,b] tels que : f(x_1) = \min_{[a,b]} f \quad \text{et} \quad f(x_2) = \max_{[a,b]} f
3 Fonctions logarithme et exponentielle
3.1 Fonction logarithme
Définition 3.1 — (Logarithme népérien)
La fonction \ln : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R} est définie par \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}.
Proposition 3.1 — (Propriétés de \boldsymbol{\ln})
- \ln(1) = 0, \ln(e) = 1
- \ln(xy) = \ln x + \ln y
- \ln(1/x) = -\ln x
- \ln(x^n) = n\ln x
- \ln'(x) = \frac{1}{x}
- \ln est strictement croissante sur ]0, +\infty[
- \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty, \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty
Proposition 3.2 — (Croissances comparées)
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0
3.2 Fonction exponentielle
Définition 3.2 — (Exponentielle)
La fonction \exp : \mathbb{R} \to ]0, +\infty[ est la bijection réciproque de \ln. On note \exp(x) = e^x.
Proposition 3.3 — (Propriétés de \boldsymbol{\exp})
- e^0 = 1, e^1 = e \approx 2{,}718
- e^{x+y} = e^x \cdot e^y
- (e^x)' = e^x
- \exp est strictement croissante sur \mathbb{R}
- \lim_{x \to -\infty} e^x = 0, \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty
- e^x > 0 pour tout x \in \mathbb{R}
Proposition 3.4 — (Croissances comparées)
Pour tout n \in \mathbb{N}^* : \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0
4 Exercices
Exercice 4.1
Montrer que la suite u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + n} converge et calculer sa limite.
Exercice 4.2
Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1. Montrer que (u_n) converge vers 2.
Exercice 4.3
Montrer que la suite u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} diverge vers +\infty.
Exercice 4.4
Montrer que l’équation e^x = x + 2 admet une unique solution positive.
Exercice 4.5
Résoudre dans \mathbb{R} :
- e^x = 3
- \ln(x) + \ln(x-1) = \ln 2
- e^{2x} - 3e^x + 2 = 0
Exercice 4.6
Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c \in ]0,1[ tel que f(c) = c.
Exercice 4.7
Montrer que \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 pour tout \alpha > 0.
Exercice 4.8
Soit f(x) = e^x - x - 1. Montrer que f(x) \geq 0 pour tout x \in \mathbb{R}.