Cours – Compléments de probabilités sur un univers fini
Chapitre 10
ECT (1re année) — Chapitre 10. Coefficients binomiaux, lois usuelles finies (uniforme, Bernoulli, binomiale), binôme de Newton.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Coefficients binomiaux
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Coefficient binomial)
Pour n, k \in \mathbb{N} avec k \leq n : \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Proposition 1.1 — (Propriétés)
- \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1
- \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} (symétrie)
- \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} (formule de Pascal)
- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n
1.2 Binôme de Newton
Théorème 1.1 — (Binôme de Newton)
Pour tout n \in \mathbb{N} et tous a, b \in \mathbb{R} : (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}
Exemple 1.1
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
2 Lois usuelles finies
2.1 Loi uniforme
Définition 2.1 — (Loi uniforme)
X suit la loi uniforme sur \{1, 2, \ldots, n\}, notée X \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1, \ldots, n\}), si : P(X = k) = \frac{1}{n} \quad \text{pour tout } k \in \{1, \ldots, n\}
Proposition 2.1 — (Espérance et variance)
E(X) = \frac{n+1}{2}, \qquad V(X) = \frac{n^2-1}{12}
2.2 Loi de Bernoulli
Définition 2.2 — (Loi de Bernoulli)
X suit la loi de Bernoulli de paramètre p \in [0,1], notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(p), si : P(X = 1) = p, \qquad P(X = 0) = 1-p = q
Proposition 2.2 — (Espérance et variance)
E(X) = p, \qquad V(X) = p(1-p) = pq
2.3 Loi binomiale
Définition 2.3 — (Loi binomiale)
X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p), si : P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k \in \{0, 1, \ldots, n\}
X compte le nombre de succès dans n expériences de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p.
Proposition 2.3 — (Espérance et variance)
E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p)
Preuve. On écrit X = X_1 + \cdots + X_n où les X_i sont indépendantes et suivent \mathcal{B}(p). Par linéarité de l’espérance : E(X) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = np Par indépendance : V(X) = \sum_{i=1}^n V(X_i) = np(1-p)
3 Exercices
Exercice 3.1
Calculer :
- \binom{10}{3}
- \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k}
- \sum_{k=0}^{10} (-1)^k \binom{10}{k}
Exercice 3.2
Développer (2x + 1)^5 en utilisant le binôme de Newton.
Exercice 3.3
On lance un dé équilibré. Soit X le résultat. Déterminer la loi de X, E(X) et V(X).
Exercice 3.4
On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 3.5
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p). Montrer que \sum_{k=0}^n P(X = k) = 1.
Exercice 3.6
Soient X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m,p) indépendantes. Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m,p).
Exercice 3.7
Montrer la formule de Pascal par un argument combinatoire.
Exercice 3.8
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(10, 0{,}3). Calculer P(X = 3), E(X) et V(X).