Cours – Fonctions de la variable réelle : primitives et intégration
Chapitre 11
ECT (1re année) — Chapitre 11. Primitives, intégrales, intégration par parties, aire sous la courbe.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Primitives
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Primitive)
Une primitive d’une fonction f : I \to \mathbb{R} est une fonction F : I \to \mathbb{R} dérivable telle que F' = f sur I.
Proposition 1.1 — (Unicité à constante près)
Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sont de la forme F + C avec C \in \mathbb{R}.
Proposition 1.2 — (Primitives usuelles)
| f(x) | F(x) |
|---|---|
| x^n (n \neq -1) | \frac{x^{n+1}}{n+1} |
| \frac{1}{x} | \ln |x| |
| e^x | e^x |
| \cos x | \sin x |
| \sin x | -\cos x |
| \frac{1}{1+x^2} | \arctan x |
Proposition 1.3 — (Opérations)
Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors :
- F + G est une primitive de f + g.
- \lambda F est une primitive de \lambda f.
2 Intégrale définie
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Intégrale)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} continue. L’intégrale de f sur [a,b] est : \int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a) où F est une primitive de f sur [a,b].
La valeur de \int_a^b f(t)\, dt ne dépend pas du choix de la primitive F.
2.2 Propriétés
Proposition 2.1 — (Propriétés)
- Linéarité : \int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g
- Relation de Chasles : \int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f
- Positivité : si f \geq 0 sur [a,b], alors \int_a^b f \geq 0
- Croissance : si f \leq g sur [a,b], alors \int_a^b f \leq \int_a^b g
- Inégalité triangulaire : \left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|
3 Aire sous la courbe
Proposition 3.1 — (Interprétation géométrique)
Si f \geq 0 sur [a,b], alors \int_a^b f(t)\, dt est l’aire du domaine délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
4 Intégration par parties
Théorème 4.1 — (Intégration par parties)
Soient u et v deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur [a,b]. Alors : \int_a^b u(t) v'(t)\, dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t) v(t)\, dt
Exemple 4.1
Calculer \int_0^1 t e^{-t}\, dt.
On pose u(t) = t et v'(t) = e^{-t}, donc u'(t) = 1 et v(t) = -e^{-t}. \int_0^1 t e^{-t}\, dt = [-te^{-t}]_0^1 + \int_0^1 e^{-t}\, dt = -e^{-1} + [-e^{-t}]_0^1 = -e^{-1} + 1 - e^{-1} = 1 - 2e^{-1}
5 Exercices
Exercice 5.1
Calculer les primitives suivantes :
- \int x^3\, dx
- \int \frac{1}{x}\, dx
- \int e^{2x}\, dx
- \int \sin(3x)\, dx
Exercice 5.2
Calculer les intégrales suivantes :
- \int_0^1 x^2\, dx
- \int_1^e \frac{dt}{t}
- \int_0^{\pi} \sin t\, dt
Exercice 5.3
Calculer par IPP :
- \int_0^1 t^2 e^{-t}\, dt
- \int_1^e t \ln t\, dt
Exercice 5.4
Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe de f(x) = x^2, l’axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 2.
Exercice 5.5
Montrer que \int_a^b f(t)\, dt = -\int_b^a f(t)\, dt.
Exercice 5.6
Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue avec f(x) \geq 0. Montrer que si \int_0^1 f(t)\, dt = 0, alors f = 0 sur [0,1].
Exercice 5.7
Calculer \int_0^1 t^n (1-t)^m\, dt pour n, m \in \mathbb{N} par IPP itérées.
Exercice 5.8
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue et T-périodique. Montrer que \int_0^T f(t)\, dt = \int_a^{a+T} f(t)\, dt pour tout a \in \mathbb{R}.