Cours – Systèmes d’équations linéaires et introduction au calcul matriciel
Chapitre 08
ECT (1re année) — Chapitre 08. Systèmes linéaires, pivot de Gauss, matrices, opérations, inversibilité.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Systèmes d’équations linéaires
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Système linéaire)
Un système linéaire de n équations à p inconnues est de la forme : \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1p}x_p = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2p}x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{np}x_p = b_n \end{cases}
Définition 1.2 — (Système homogène)
Si b_1 = b_2 = \cdots = b_n = 0, le système est homogène. Il admet toujours la solution nulle (0, \ldots, 0).
1.2 Opérations élémentaires
Méthode 1.1 — (Pivot de Gauss)
Pour résoudre un système linéaire, on utilise les opérations élémentaires sur les lignes :
- Échanger deux lignes : L_i \leftrightarrow L_j.
- Multiplier une ligne par un scalaire non nul : L_i \leftarrow \lambda L_i (\lambda \neq 0).
- Ajouter à une ligne un multiple d’une autre : L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j.
Ces opérations ne changent pas l’ensemble des solutions.
Exemple 1.1
Résoudre : \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 11 \\ x + 2y + 2z = 9 \end{cases}
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 : y - z = -1 L_3 \leftarrow L_3 - L_1 : y + z = 3 L_3 \leftarrow L_3 - L_2 : 2z = 4, donc z = 2, puis y = 1, puis x = 3.
2 Matrices
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Matrice)
Une matrice A de taille n \times p est un tableau de n lignes et p colonnes : A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix}
2.2 Opérations sur les matrices
Définition 2.2 — (Addition et multiplication par un scalaire)
Soient A = (a_{ij}) et B = (b_{ij}) deux matrices de taille n \times p. Alors :
- A + B = (a_{ij} + b_{ij})
- \lambda A = (\lambda a_{ij})
Définition 2.3 — (Produit matriciel)
Soient A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) et B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R}). Le produit AB est la matrice de taille n \times q définie par : (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}
Le produit matriciel n’est pas commutatif en général : AB \neq BA.
Exemple 2.1
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} mais BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Donc AB \neq BA.
2.3 Matrice identité et transposée
Définition 2.4 — (Matrice identité)
La matrice identité I_n est la matrice n \times n avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs : I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
Définition 2.5 — (Transposée)
La transposée de A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) est A^T = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R}).
2.4 Matrices inversibles
Définition 2.6 — (Matrice inversible)
A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est inversible s’il existe B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telle que AB = BA = I_n. On note A^{-1} l’inverse de A.
Proposition 2.1 — (Propriétés)
- (A^{-1})^{-1} = A
- (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
- (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
- \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
Exemple 2.2 — (Inverse d’une matrice \boldsymbol{2 \times 2})
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} est inversible si et seulement si ad - bc \neq 0, et : A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
3 Exercices
Exercice 3.1
Résoudre par le pivot de Gauss :
- \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
- \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + z = 4 \\ x + 2y + 2z = 5 \end{cases}
Exercice 3.2
Calculer AB et BA avec A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}.
Exercice 3.3
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}. Calculer A^{-1}.
Exercice 3.4
Montrer que si A et B sont inversibles, alors AB est inversible et (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.
Exercice 3.5
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. Calculer A^2 et en déduire A^{-1}.
Exercice 3.6
Résoudre le système : \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 4y + 6z = 2 \\ 3x + 6y + 9z = 3 \end{cases}
Exercice 3.7
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.
Exercice 3.8
Montrer que (AB)^T = B^T A^T.
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📝 Chapitre 08 : Systèmes d’équations linéaires et calcul matriciel
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