Cours – Statistique descriptive univariée
Chapitre 07
ECT (1re année) — Chapitre 07. Indicateurs de position (moyenne, médiane, mode), indicateurs de dispersion (variance, écart-type, quartiles, déciles).
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Vocabulaire statistique
1.1 Population, individus, caractère
Définition 1.1 — (Population, individus, caractère)
- Une population est un ensemble d’individus (objets d’une étude statistique).
- Un individu est un élément de la population.
- Un caractère est une propriété étudiée sur la population. Il peut être :
- qualitatif (couleur, profession, etc.)
- quantitatif (taille, salaire, etc.)
1.2 Données groupées en classes
Définition 1.2 — (Données groupées)
Pour une série statistique quantitative, on peut regrouper les données en classes [a_i, a_{i+1}[ avec des effectifs n_i et des fréquences f_i = \frac{n_i}{n}.
2 Indicateurs de position
2.1 Moyenne
Définition 2.1 — (Moyenne)
La moyenne d’une série statistique (x_i)_{1 \leq i \leq n} est : \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
Pour des données groupées avec effectifs n_i : \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i} n_i c_i où c_i est le centre de la classe i-ème.
Proposition 2.1 — (Propriétés de la moyenne)
- \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0
- Si y_i = ax_i + b, alors \bar{y} = a\bar{x} + b.
2.2 Médiane
Définition 2.2 — (Médiane)
La médiane m est une valeur qui partage la population en deux groupes d’effectifs égaux : 50% des données sont inférieures à m et 50% sont supérieures à m.
Méthode 2.1 — (Calcul de la médiane)
- Si n est impair : m = x_{(n+1)/2} (la valeur centrale).
- Si n est pair : m = \frac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2}.
2.3 Mode
Définition 2.3 — (Mode)
Le mode est la valeur la plus fréquente (celle qui a le plus grand effectif ou la plus grande fréquence).
3 Indicateurs de dispersion
3.1 Variance et écart-type
Définition 3.1 — (Variance)
La variance d’une série statistique est : V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2
L’écart-type est \sigma = \sqrt{V}.
Proposition 3.1 — (Propriétés)
- V \geq 0.
- Si y_i = ax_i + b, alors V_y = a^2 V_x et \sigma_y = |a|\sigma_x.
3.2 Quartiles
Définition 3.2 — (Quartiles)
Les quartiles sont les valeurs Q_1, Q_2, Q_3 qui partagent la population en 4 groupes d’effectifs égaux :
- Q_1 : 25% des données sont inférieures à Q_1.
- Q_2 = m (médiane) : 50% des données sont inférieures à Q_2.
- Q_3 : 75% des données sont inférieures à Q_3.
L’écart interquartile est Q_3 - Q_1.
3.3 Déciles
Définition 3.3 — (Déciles)
Les déciles D_1, D_2, \ldots, D_9 sont les valeurs qui partagent la population en 10 groupes d’effectifs égaux. D_k est tel que k \times 10\% des données sont inférieures à D_k.
4 Exercices
Exercice 4.1
Les notes de 10 élèves sont : 8, 12, 10, 15, 9, 11, 14, 7, 13, 10.
- Calculer la moyenne.
- Déterminer la médiane.
- Déterminer le mode.
- Calculer la variance et l’écart-type.
Exercice 4.2
La distribution des salaires dans une entreprise est donnée par :
| Classe | [1000, 2000[ | [2000, 3000[ | [3000, 4000[ | [4000, 5000[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 15 | 25 | 8 | 2 |
- Calculer le salaire moyen.
- Déterminer la classe modale.
- Estimer la médiane.
Exercice 4.3
Soit une série statistique avec n = 20 valeurs rangées par ordre croissant. Déterminer Q_1, Q_2, Q_3.
Exercice 4.4
Montrer que \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2.
Exercice 4.5
Les tailles de 8 personnes sont : 160, 165, 170, 172, 175, 178, 180, 185 cm.
- Calculer la moyenne et l’écart-type.
- Si on ajoute 5 cm à chaque taille, comment changent la moyenne et l’écart-type ?
Exercice 4.6
Soit une série de n valeurs avec moyenne \bar{x} et variance V. Si on remplace chaque x_i par y_i = 2x_i + 3, déterminer la moyenne et la variance de la nouvelle série.
Exercice 4.7
Les déciles d’une distribution sont D_1 = 10, D_2 = 15, \ldots, D_9 = 50. Interpréter D_5 et D_7.
Exercice 4.8
Montrer que la variance peut s’écrire : V = \frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x_i - x_j)^2