Cours – Probabilité sur un univers fini
Chapitre 06
ECT (1re année) — Chapitre 06. Espace probabilisable, probabilités, probabilités conditionnelles, indépendance, variables aléatoires réelles, espérance, variance.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Espaces probabilisables
1.1 Expérience aléatoire et univers
Définition 1.1 — (Expérience aléatoire)
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. L’ensemble de tous les résultats possibles est appelé univers et noté \Omega.
Un événement est une partie de \Omega. L’événement \Omega est l’événement certain, \varnothing est l’événement impossible.
Exemple 1.1
- Lancer un dé à 6 faces : \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.
- Lancer une pièce : \Omega = \{\text{pile}, \text{face}\}.
- Tirer une boule dans une urne : \Omega = \{B_1, B_2, \ldots, B_n\}.
1.2 Probabilités sur un univers fini
Définition 1.2 — (Probabilité sur un univers fini)
Soit \Omega un ensemble fini. Une probabilité sur \Omega est une application P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] vérifiant :
- P(\Omega) = 1.
- Pour tous événements incompatibles A et B (A \cap B = \varnothing) : P(A \cup B) = P(A) + P(B).
Proposition 1.1 — (Probabilité d’un événement)
Si \Omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_n\} et P(\omega_i) = p_i, alors pour tout événement A = \{\omega_{i_1}, \ldots, \omega_{i_k}\} : P(A) = p_{i_1} + \cdots + p_{i_k}
Définition 1.3 — (Équiprobabilité)
Si tous les éléments de \Omega ont la même probabilité, on parle d’équiprobabilité. Dans ce cas, pour tout événement A : P(A) = \frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}
Proposition 1.2 — (Propriétés des probabilités)
Pour tous événements A, B :
- P(\varnothing) = 0
- P(\overline{A}) = 1 - P(A)
- P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
- Si A \subset B, alors P(A) \leq P(B)
2 Probabilités conditionnelles
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Probabilité conditionnelle)
Soit B un événement avec P(B) > 0. La probabilité de A sachant B est : P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
Proposition 2.1 — (Formule des probabilités composées)
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(A \mid B) = P(B) \cdot P(B \mid A)
Théorème 2.1 — (Formule des probabilités totales)
Soient B_1, \ldots, B_n un système complet d’événements (deux à deux incompatibles et de réunion \Omega) avec P(B_i) > 0. Alors pour tout événement A : P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)
Théorème 2.2 — (Formule de Bayes)
Avec les mêmes hypothèses : P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j) \cdot P(A \mid B_j)}
3 Indépendance
Définition 3.1 — (Indépendance de deux événements)
A et B sont indépendants si : P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Proposition 3.1
Si A et B sont indépendants et P(B) > 0, alors P(A \mid B) = P(A).
Proposition 3.2
Si A et B sont indépendants, alors A et \overline{B} sont indépendants.
4 Variables aléatoires réelles
4.1 Définition
Définition 4.1 — (Variable aléatoire)
Une variable aléatoire réelle sur \Omega fini est une application X : \Omega \to \mathbb{R}. L’ensemble des valeurs prises par X est X(\Omega) = \{x_1, \ldots, x_n\}.
Définition 4.2 — (Loi d’une variable aléatoire)
La loi de X est la donnée des probabilités P(X = x_i) pour tout x_i \in X(\Omega). On a : \sum_{i=1}^n P(X = x_i) = 1
4.2 Espérance
Définition 4.3 — (Espérance)
L’espérance de X est : E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X = x_i)
Proposition 4.1 — (Linéarité de l’espérance)
Pour toutes variables aléatoires X, Y et tout \lambda \in \mathbb{R} :
- E(\lambda X + Y) = \lambda E(X) + E(Y)
- Si X \geq 0, alors E(X) \geq 0
4.3 Variance
Définition 4.4 — (Variance)
La variance de X est : V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2
L’écart-type est \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
Proposition 4.2 — (Propriétés)
- V(X) \geq 0
- V(aX + b) = a^2 V(X)
- V(X) = 0 \iff X est constante
5 Exercices
Exercice 5.1
On lance deux dés équilibrés. Calculer :
- P(\text{somme} = 7)
- P(\text{au moins un } 6)
- P(\text{somme} \geq 10)
Exercice 5.2
Une urne contient 5 boules rouges et 3 noires. On tire 2 boules sans remise. Calculer la probabilité de tirer 2 boules rouges.
Exercice 5.3
Une maladie touche 1% de la population. Un test a une sensibilité de 0,95 et une spécificité de 0,95. Calculer P(\text{malade} \mid \text{test positif}).
Exercice 5.4
Soit X la variable aléatoire donnant le résultat du lancer d’un dé équilibré.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.5
On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles obtenus.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5.6
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes avec X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m,p). Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m,p).
Exercice 5.7
Montrer que si X et Y sont indépendantes, alors E(XY) = E(X)E(Y).
Exercice 5.8
Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 3 et V(X) = 4. Calculer E(2X + 1) et V(2X + 1).