Cours – Fonctions réelles d’une variable réelle : dérivabilité, convexité
Chapitre 05
ECT (1re année) — Chapitre 05. Dérivabilité, monotonie, extremum local, dérivées successives, convexité, points d’inflexion.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Dérivabilité
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Dérivabilité en un point)
f : I \to \mathbb{R} est dérivable en a \in I si la limite : f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} existe et est finie.
Proposition 1.1 — (Dérivabilité implique continuité)
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
La réciproque est fausse : f(x) = |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0.
1.2 Opérations sur les fonctions dérivables
Proposition 1.2 — (Opérations)
Soient f et g dérivables en a. Alors :
- (f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)
- (\lambda f)'(a) = \lambda f'(a)
- (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)
- \left(\dfrac{f}{g}\right)'(a) = \dfrac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{(g(a))^2} si g(a) \neq 0
- (g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a) (règle de la chaîne)
Proposition 1.3 — (Dérivées des fonctions usuelles)
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| x^n | nx^{n-1} |
| e^x | e^x |
| \ln x | \frac{1}{x} |
| \sin x | \cos x |
| \cos x | -\sin x |
| \tan x | \frac{1}{\cos^2 x} |
2 Monotonie et extremum local
2.1 Monotonie
Théorème 2.1 — (Lien entre dérivée et monotonie)
Soit f : I \to \mathbb{R} dérivable sur un intervalle I.
- f'(x) \geq 0 pour tout x \in I \iff f est croissante sur I.
- f'(x) \leq 0 pour tout x \in I \iff f est décroissante sur I.
- f'(x) = 0 pour tout x \in I \iff f est constante sur I.
- f'(x) > 0 pour tout x \in I \implies f est strictement croissante sur I.
2.2 Extremum local
Définition 2.1 — (Extremum local)
f admet un maximum local (resp. minimum local) en a s’il existe un voisinage V de a tel que f(x) \leq f(a) (resp. f(x) \geq f(a)) pour tout x \in V.
Théorème 2.2 — (Condition nécessaire)
Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a (point intérieur), alors f'(a) = 0.
La réciproque est fausse : f(x) = x^3 vérifie f'(0) = 0 mais n’admet pas d’extremum en 0.
3 Dérivées successives et classes \mathcal{C}^k
Définition 3.1 — (Dérivées d’ordre supérieur)
Si f est dérivable sur I, on note f' sa dérivée. Si f' est dérivable, on note f'' = (f')' la dérivée seconde. Par récurrence, on définit f^{(n)} = (f^{(n-1)})'.
Définition 3.2 — (Classes \boldsymbol{\mathcal{C}^k})
f est de classe \mathcal{C}^k sur I si f est k fois dérivable et f^{(k)} est continue sur I. f est de classe \mathcal{C}^\infty si elle est indéfiniment dérivable.
4 Convexité
4.1 Définition
Définition 4.1 — (Fonction convexe)
f : I \to \mathbb{R} est convexe sur I si pour tous x, y \in I et tout \lambda \in [0,1] : f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)
f est concave si -f est convexe.
4.2 Caractérisation par la dérivée seconde
Théorème 4.1 — (Critère de convexité)
Soit f : I \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2 sur I. Alors :
- f est convexe sur I \iff f''(x) \geq 0 pour tout x \in I.
- f est concave sur I \iff f''(x) \leq 0 pour tout x \in I.
4.3 Points d’inflexion
Définition 4.2 — (Point d’inflexion)
Un point a est un point d’inflexion de f si la courbe de f traverse sa tangente en a. Si f est de classe \mathcal{C}^2, alors f''(a) = 0 et f'' change de signe en a.
Exemple 4.1
f(x) = x^3 admet un point d’inflexion en 0 car f''(x) = 6x s’annule en 0 en changeant de signe.
5 Exercices
Exercice 5.1
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
- f(x) = x^3 e^x
- f(x) = \frac{\ln x}{x}
- f(x) = \sin(x^2)
- f(x) = e^{\cos x}
Exercice 5.2
Étudier les variations de f(x) = x^2 e^{-x} sur \mathbb{R}.
Exercice 5.3
Soit f(x) = x^3 - 3x + 1.
- Étudier les variations de f.
- Déterminer les extremums locaux.
- Montrer que f admet trois racines réelles.
Exercice 5.4
Montrer que f(x) = e^x est convexe sur \mathbb{R} et que g(x) = \ln x est concave sur ]0, +\infty[.
Exercice 5.5
Soit f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Déterminer les points d’inflexion de f.
Exercice 5.6
Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} : e^x \geq 1 + x.
Indication : Étudier g(x) = e^x - 1 - x et montrer que g admet un minimum en 0.
Exercice 5.7
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} dérivable avec f'(a) < 0 et f'(b) > 0. Montrer que f admet un minimum local en un point c \in ]a,b[.
Exercice 5.8
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2 avec f''(x) \geq 0 pour tout x. Montrer que f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a) pour tout x (la tangente est en dessous de la courbe).
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📝 Chapitre 05 : Fonctions réelles d’une variable réelle : dérivabilité, convexité
Voir TD
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