TD — Fonctions réelles d’une variable réelle : dérivabilité, convexité
Chapitre 05
ECT (1re année) — TD du Chapitre 05. Dérivabilité, monotonie, extremum local, dérivées successives, convexité, points d’inflexion.
Exercice 1
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
- f(x) = x^3 e^x
- f(x) = \dfrac{\ln x}{x}
- f(x) = \sin(x^2)
- f(x) = e^{\cos x}
Exercice 2
Étudier les variations de f(x) = x^2 e^{-x} sur \mathbb{R}.
Exercice 3
Soit f(x) = x^3 - 3x + 1.
- Étudier les variations de f.
- Déterminer les extremums locaux.
- Montrer que f admet trois racines réelles.
Exercice 4
Montrer que f(x) = e^x est convexe sur \mathbb{R} et que g(x) = \ln x est concave sur ]0, +\infty[.
Exercice 5
Soit f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Déterminer les points d’inflexion de f.
Indication : f''(x) = 6x - 6 s’annule en x = 1 en changeant de signe.
Exercice 6
Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} : e^x \geq 1 + x.
Indication : Étudier g(x) = e^x - 1 - x et montrer que g admet un minimum en 0.
Exercice 7
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} dérivable avec f'(a) < 0 et f'(b) > 0. Montrer que f admet un minimum local en un point c \in ]a,b[.
Exercice 8
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2 avec f''(x) \geq 0 pour tout x. Montrer que pour tout a \in \mathbb{R} : f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)
Indication : La tangente est en dessous de la courbe pour une fonction convexe.
Exercice 9
Étudier la convexité de f(x) = x \ln x sur ]0, +\infty[.
Exercice 10
Soit f(x) = x^4 - 4x^2.
- Déterminer les extremums locaux et globaux.
- Déterminer les points d’inflexion.