TD — Fonctions réelles d’une variable réelle : limites, continuité

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT1 (1re année) — TD du Chapitre 04. Limites, continuité, opérations algébriques, composition.

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

  1. \lim_{x\to 2} (3x^2-5x+1)
  2. \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}
  3. \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^2-1}{x}
  4. \lim_{x\to +\infty} \frac{2x^2+1}{x^2-3}

Exercice 2

Calculer :

  1. \lim_{x\to +\infty} \frac{3x+1}{x-2}
  2. \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+1}{x}
  3. \lim_{x\to +\infty} \frac{5x^2-3x+1}{2x^2+x}
  4. \lim_{x\to -\infty} \frac{x^3+1}{x^2+1}

Exercice 3

Étudier la continuité de la fonction f définie par : f(x)= \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x<1,\\ 3 & \text{si } x=1,\\ 2x & \text{si } x>1. \end{cases}

Exercice 4

Déterminer la valeur du réel a pour que la fonction f définie par : f(x)= \begin{cases} x^2+a & \text{si } x<2,\\ 3x-1 & \text{si } x\geq 2 \end{cases} soit continue en 2.

Exercice 5

Soit f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2} pour x \neq 2.

  1. Simplifier f(x) pour x \neq 2.
  2. Calculer \lim_{x\to 2} f(x).
  3. Peut-on prolonger f par continuité en 2 ?

Exercice 6

Montrer que l’équation x^3+x-1=0 admet au moins une solution dans [0,1].

Indication : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 7

Montrer que la fonction f(x)=x^2+1 est continue sur \mathbb{R}.

Exercice 8

Soit f : [0,1] \to [0,1] continue. Montrer qu’il existe c \in [0,1] tel que f(c)=c.

Indication : Étudier g(x)=f(x)-x.

Exercice 9

Soient f et g deux fonctions continues sur \mathbb{R}. Montrer que f+g, fg et f \circ g sont continues sur \mathbb{R}.

Cours

📝 Chapitre 04 : Fonctions réelles d’une variable réelle : limites, continuité