Cours – Fonctions réelles d’une variable réelle : limites, continuité
Chapitre 04
ECT (1re année) — Chapitre 04. Limites, continuité, opérations algébriques, composition.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Limites de fonctions
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Limite d’une fonction en un point)
Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction définie sur un intervalle I et a \in I (ou a adhérent à I). On dit que f admet pour limite \ell \in \mathbb{R} en a, et on note \lim_{x \to a} f(x) = \ell, si : \forall \varepsilon > 0,\quad \exists \delta > 0,\quad \forall x \in I,\quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon
Définition 1.2 — (Limites à gauche et à droite)
- La limite à gauche de f en a est \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x).
- La limite à droite de f en a est \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x).
f admet une limite en a si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
Définition 1.3 — (Limites en l’infini)
- \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell signifie : \forall \varepsilon > 0,\; \exists A > 0,\; \forall x > A,\; |f(x) - \ell| < \varepsilon.
- \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty signifie : \forall M > 0,\; \exists A > 0,\; \forall x > A,\; f(x) > M.
Exemple 1.1
- \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
- \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0
- \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty
- \lim_{x \to -\infty} e^x = 0
1.2 Opérations sur les limites
Proposition 1.1 — (Opérations algébriques)
Soient f et g deux fonctions admettant des limites finies en a (ou en +\infty). Alors :
- \lim (f + g) = \lim f + \lim g
- \lim (\lambda f) = \lambda \lim f pour tout \lambda \in \mathbb{R}
- \lim (fg) = (\lim f)(\lim g)
- \lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g} si \lim g \neq 0
Proposition 1.2 — (Limites et inégalités)
Si f(x) \leq g(x) au voisinage de a et si \lim f et \lim g existent, alors \lim f \leq \lim g.
Si f(x) < g(x) au voisinage de a, on ne peut conclure que \lim f < \lim g. On a seulement \lim f \leq \lim g.
1.3 Théorème des gendarmes
Théorème 1.1 — (Théorème des gendarmes)
Si f(x) \leq g(x) \leq h(x) au voisinage de a et si \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell, alors \lim_{x \to a} g(x) = \ell.
Exemple 1.2
Montrer que \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0.
Pour tout x > 0 : -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}. Comme \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0, par le théorème des gendarmes, \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0.
1.4 Composition
Proposition 1.3 — (Limite d’une composée)
Si \lim_{x \to a} f(x) = b et \lim_{y \to b} g(y) = \ell, alors \lim_{x \to a} g(f(x)) = \ell.
2 Continuité
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Continuité en un point)
f : I \to \mathbb{R} est continue en a \in I si : \lim_{x \to a} f(x) = f(a)
Autrement dit : \forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0,\; \forall x \in I,\; |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon.
Définition 2.2 — (Continuité sur un intervalle)
f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Exemple 2.1 — (Fonctions usuelles continues)
Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :
- Les polynômes sur \mathbb{R}.
- \sin, \cos sur \mathbb{R}.
- \exp sur \mathbb{R}.
- \ln sur ]0, +\infty[.
- x \mapsto x^\alpha sur ]0, +\infty[.
2.2 Opérations sur les fonctions continues
Proposition 2.1 — (Opérations)
Soient f et g deux fonctions continues en a. Alors :
- f + g et \lambda f sont continues en a.
- fg est continue en a.
- \dfrac{f}{g} est continue en a si g(a) \neq 0.
- g \circ f est continue en a si g est continue en f(a).
Proposition 2.2 — (Continuité et suites)
f est continue en a si et seulement si pour toute suite (u_n) convergeant vers a, la suite (f(u_n)) converge vers f(a).
3 Exercices
Exercice 3.1
Calculer les limites suivantes :
- \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
- \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}
- \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}
- \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}
Exercice 3.2
Étudier la continuité de la fonction : f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}
Exercice 3.3
Montrer que la fonction f(x) = \frac{x}{1+|x|} est continue sur \mathbb{R}.
Exercice 3.4
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c \in ]0,1[ tel que f(c) = c.
Exercice 3.5
Soit f : [0,1] \to [0,1] continue. Montrer que f admet un point fixe.
Exercice 3.6
Montrer que l’équation x^3 + x - 1 = 0 admet une unique solution réelle.
Exercice 3.7
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue et 2-périodique. Montrer que f est bornée sur \mathbb{R}.
Exercice 3.8
Montrer que si f : [a,b] \to \mathbb{R} est continue, alors f est bornée et atteint ses bornes.
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