Cours – Exemples de suites réelles, polynômes
Chapitre 03
ECT (1re année) — Chapitre 03. Sommes et produits finis, suites arithmétiques et géométriques, suites arithmético-géométriques, polynômes du premier et second degré.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.
1 Sommes et produits finis
1.1 Notation sigma
Définition 1.1 — (Somme finie)
Soient a_p, a_{p+1}, \ldots, a_n des nombres réels. On note : \sum_{k=p}^n a_k = a_p + a_{p+1} + \cdots + a_n
Proposition 1.1 — (Propriétés)
- Linéarité : \sum_{k=1}^n (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda \sum_{k=1}^n a_k + \mu \sum_{k=1}^n b_k
- Relation de Chasles : \sum_{k=p}^n a_k = \sum_{k=p}^m a_k + \sum_{k=m+1}^n a_k
- Somme d’une constante : \sum_{k=1}^n c = nc
1.2 Sommes de référence
Proposition 1.2 — (Sommes usuelles)
Pour tout n \in \mathbb{N}^* :
- \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
- \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
- \sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} si q \neq 1
1.3 Notation produit
Définition 1.2 — (Produit fini)
\prod_{k=p}^n a_k = a_p \times a_{p+1} \times \cdots \times a_n
Définition 1.3 — (Factorielle)
Pour n \in \mathbb{N} : n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n avec 0! = 1.
2 Suites arithmétiques et géométriques
2.1 Suites arithmétiques
Définition 2.1 — (Suite arithmétique)
Une suite (u_n) est arithmétique de raison r et de premier terme u_0 si : u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}
Alors : u_n = u_0 + nr pour tout n \in \mathbb{N}.
Proposition 2.1 — (Somme des termes)
\sum_{k=0}^n (u_0 + kr) = (n+1)u_0 + r \cdot \frac{n(n+1)}{2} = (n+1)\frac{u_0 + u_n}{2}
2.2 Suites géométriques
Définition 2.2 — (Suite géométrique)
Une suite (u_n) est géométrique de raison q et de premier terme u_0 si : u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}
Alors : u_n = u_0 \cdot q^n pour tout n \in \mathbb{N}.
Proposition 2.2 — (Somme des termes)
Si q \neq 1 : \sum_{k=0}^n u_0 q^k = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
2.3 Suites arithmético-géométriques
Définition 2.3 — (Suite arithmético-géométrique)
Une suite (u_n) est arithmético-géométrique si : u_{n+1} = a \cdot u_n + b où a, b \in \mathbb{R} sont fixés.
Méthode 2.1 — (Résolution)
Pour résoudre u_{n+1} = au_n + b :
- Si a \neq 1, chercher le point fixe \ell = \frac{b}{1-a}.
- Poser v_n = u_n - \ell. Alors (v_n) est géométrique de raison a.
- En déduire u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n.
Exemple 2.1
Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3.
- Point fixe : \ell = \frac{3}{1-1/2} = 6.
- v_n = u_n - 6 est géométrique de raison \frac{1}{2} : v_n = (u_0 - 6)\left(\frac{1}{2}\right)^n = -5\left(\frac{1}{2}\right)^n.
- Donc u_n = 6 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^n.
3 Polynômes du premier et second degré
3.1 Polynômes du premier degré
Définition 3.1 — (Polynôme du premier degré)
Un polynôme du premier degré est de la forme P(x) = ax + b avec a \neq 0.
- Racine : x_0 = -\frac{b}{a}.
- Signe : P(x) est du signe de a si x > x_0, du signe de -a si x < x_0.
3.2 Polynômes du second degré
Définition 3.2 — (Polynôme du second degré)
Un polynôme du second degré est de la forme P(x) = ax^2 + bx + c avec a \neq 0.
Le discriminant est \Delta = b^2 - 4ac.
Théorème 3.1 — (Résolution de \boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0})
- Si \Delta > 0 : deux racines réelles distinctes x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
- Si \Delta = 0 : une racine double x_0 = -\dfrac{b}{2a}.
- Si \Delta < 0 : pas de racine réelle.
Proposition 3.1 — (Relations entre coefficients et racines)
Si x_1 et x_2 sont les racines de ax^2 + bx + c = 0 : x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}
Proposition 3.2 — (Signe du trinôme)
Le signe de ax^2 + bx + c :
- Si \Delta > 0 : du signe de a à l’extérieur des racines, du signe de -a entre les racines.
- Si \Delta = 0 : du signe de a sauf en x_0 où il s’annule.
- Si \Delta < 0 : du signe de a pour tout x.
Exemple 3.1
Résoudre 2x^2 - 5x + 2 = 0.
\Delta = 25 - 16 = 9 > 0. Racines : x_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2} et x_2 = \frac{5+3}{4} = 2.
Factorisation : 2x^2 - 5x + 2 = 2(x - \frac{1}{2})(x - 2).
4 Exercices
Exercice 4.1
Calculer les sommes suivantes :
- \sum_{k=1}^{100} k
- \sum_{k=1}^{50} (2k - 1)
- \sum_{k=0}^{10} 3^k
Exercice 4.2
Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme u_0 = 3 et de raison r = 2. Calculer u_{10} et \sum_{k=0}^{10} u_k.
Exercice 4.3
Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0 = 5 et de raison q = \frac{1}{3}. Calculer u_5 et \sum_{k=0}^5 u_k.
Exercice 4.4
Soit u_0 = 2 et u_{n+1} = 3u_n - 4. Déterminer u_n en fonction de n.
Exercice 4.5
Résoudre dans \mathbb{R} :
- x^2 - 3x + 2 = 0
- 2x^2 + 4x + 2 = 0
- x^2 + x + 1 = 0
Exercice 4.6
Étudier le signe de f(x) = -x^2 + 4x - 3.
Exercice 4.7
Montrer que \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}.
Exercice 4.8
Soit u_0 = 1 et u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1. Montrer que (u_n) converge vers 2.