Cours – Calculs algébriques dans ℝ

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT (1re année) — Chapitre 02. Nombres réels, puissances, inégalités, valeur absolue, propriété d’Archimède, systèmes linéaires 2 \times 2.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.

1 Nombres réels et inégalités

1.1 Corps des nombres réels

Définition 1.1 — (Corps des réels)

\mathbb{R} est un corps commutatif muni des opérations + et \times, c’est-à-dire :

  • (\mathbb{R}, +) est un groupe commutatif d’élément neutre 0.
  • (\mathbb{R}^*, \times) est un groupe commutatif d’élément neutre 1.
  • La multiplication est distributive sur l’addition.

Proposition 1.1 — (Inégalités dans ℝ)

Pour tous a, b, c \in \mathbb{R} :

  1. a \leq b \iff a + c \leq b + c
  2. a \leq b et c > 0 \implies ac \leq bc
  3. a \leq b et c < 0 \implies ac \geq bc
  4. a \leq b et c \leq d \implies a + c \leq b + d
  5. 0 \leq a \leq b et 0 \leq c \leq d \implies ac \leq bd

On ne peut pas additionner deux inégalités de sens contraire. On ne peut pas multiplier deux inégalités sans vérifier les signes.

1.2 Puissances

Définition 1.2 — (Puissances entières)

Pour a \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{N}^* : a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}, \qquad a^0 = 1

Pour a \neq 0 et n \in \mathbb{N}^* : a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.

Proposition 1.2 — (Règles de calcul)

Pour a, b \in \mathbb{R} et m, n \in \mathbb{Z} :

  1. a^m \times a^n = a^{m+n}
  2. (a^m)^n = a^{mn}
  3. (ab)^n = a^n b^n
  4. \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} (si a \neq 0)

1.3 Valeur absolue

Définition 1.3 — (Valeur absolue)

Pour x \in \mathbb{R}, la valeur absolue de x est : |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Proposition 1.3 — (Propriétés de la valeur absolue)

Pour tous x, y \in \mathbb{R} :

  1. |x| \geq 0 et |x| = 0 \iff x = 0
  2. |xy| = |x| \cdot |y|
  3. |x + y| \leq |x| + |y| (inégalité triangulaire)
  4. |x - y| \geq ||x| - |y||

Proposition 1.4 — (Caractérisation)

Pour a \geq 0 :

  • |x| \leq a \iff -a \leq x \leq a
  • |x| \geq a \iff x \leq -a ou x \geq a

1.4 Propriété d’Archimède

Théorème 1.1 — (Propriété d’Archimède)

Pour tout x \in \mathbb{R}, il existe n \in \mathbb{N} tel que n > x.

Autrement dit, \mathbb{N} n’est pas majoré dans \mathbb{R}.

Proposition 1.5 — (Conséquences)

  1. Pour tout \varepsilon > 0, il existe n \in \mathbb{N}^* tel que \frac{1}{n} < \varepsilon.
  2. Pour tout x \in \mathbb{R}, il existe un unique p \in \mathbb{Z} tel que p \leq x < p+1 (partie entière).

1.5 Partie entière

Définition 1.4 — (Partie entière)

Pour x \in \mathbb{R}, la partie entière de x, notée \lfloor x \rfloor ou E(x), est l’unique entier p tel que p \leq x < p+1.

Exemple 1.1

\lfloor 3,7 \rfloor = 3, \lfloor -2,3 \rfloor = -3, \lfloor 5 \rfloor = 5.

2 Systèmes linéaires 2 \times 2

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Système linéaire \boldsymbol{2 \times 2})

Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : \begin{cases} ax + by = s \\ cx + dy = t \end{cases} où a, b, c, d, s, t \in \mathbb{R} sont donnés et x, y \in \mathbb{R} sont les inconnues.

2.2 Résolution

Méthode 2.1 — (Méthode de résolution)

Pour résoudre le système \begin{cases} ax + by = s \\ cx + dy = t \end{cases} :

  1. Calculer le déterminant \Delta = ad - bc.
  2. Si \Delta \neq 0 : le système a une solution unique : x = \frac{sd - bt}{ad - bc}, \qquad y = \frac{at - sc}{ad - bc}
  3. Si \Delta = 0 : le système n’a pas de solution ou une infinité de solutions.

Exemple 2.1

Résoudre \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}.

\Delta = 2 \times (-1) - 3 \times 1 = -5 \neq 0. Le système a une solution unique : x = \frac{7 \times (-1) - 3 \times 1}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2 y = \frac{2 \times 1 - 7 \times 1}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1

Exemple 2.2 — (Cas particulier)

Résoudre \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}.

\Delta = 1 \times 2 - 1 \times 2 = 0. Les deux équations sont proportionnelles. Le système a une infinité de solutions : \{(x, 2-x) \mid x \in \mathbb{R}\}.

Exemple 2.3 — (Cas incompatible)

Résoudre \begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}.

\Delta = 0. Les deux équations sont incompatibles. Le système n’a pas de solution.

3 Exercices

Exercice 3.1

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. |2x - 3| \leq 5
  2. |x + 1| > |x - 2|
  3. x^2 - 5x + 6 \leq 0

Exercice 3.2

Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} : |x| + |x-1| \geq 1.

Exercice 3.3

Soit a \in \mathbb{R}^*. Montrer que a + \frac{1}{a} \geq 2 si a > 0 et a + \frac{1}{a} \leq -2 si a < 0.

Exercice 3.4

Résoudre les systèmes suivants :

  1. \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}
  2. \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}
  3. \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}

Exercice 3.5

Soit x \in \mathbb{R}. Montrer que \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 et x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x.

Exercice 3.6

Montrer que pour tous a, b \in \mathbb{R}^+ : \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2} (inégalité arithmético-géométrique).

Exercice 3.7

Soit n \in \mathbb{N}^*. Montrer que \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}.

Exercice 3.8

Résoudre dans \mathbb{R} : |x - 1| + |x + 2| = 5.

Document en PDF

📝 Chapitre 02 : Calculs algébriques dans ℝ

Voir TD

✍️ TD 02 : Calculs algébriques dans ℝ