TD — Calculs algébriques dans ℝ

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT1 (1re année) — TD du Chapitre 02. Nombres réels, puissances, inégalités, valeur absolue, propriété d’Archimède, systèmes linéaires 2 \times 2.

Exercice 1

Simplifier les expressions suivantes :

  1. 2^3 \times 2^5
  2. \dfrac{3^7}{3^4}
  3. (5^2)^3
  4. \dfrac{x^4 y^2}{x^2 y} avec x,y \neq 0

Exercice 2

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :

  1. |x-3| = 5
  2. |2x+1| = 7
  3. |x+2| = |x-4|

Exercice 3

Résoudre dans \mathbb{R} les inéquations suivantes :

  1. |x-1| \leq 3
  2. |2x+5| < 1
  3. |x+1| \geq 4

Exercice 4

Montrer que pour tous réels x et y : |x+y| \leq |x| + |y|.

Exercice 5

Montrer que pour tout réel x : |x| \leq 1 \iff -1 \leq x \leq 1.

Exercice 6

Résoudre les systèmes suivants :

  1. \begin{cases} 2x+y=5\\ x-y=1 \end{cases}

  2. \begin{cases} 3x-2y=4\\ x+y=5 \end{cases}

Exercice 7

Résoudre, suivant la valeur du paramètre m \in \mathbb{R}, le système : \begin{cases} x+my=1\\ mx+y=1 \end{cases}

Indication : Calculer le déterminant \Delta = 1-m^2.

Exercice 8

Montrer que pour tout réel x, il existe un entier naturel n tel que n > x.

Exercice 9

Soit x \in \mathbb{R}. On note \lfloor x \rfloor sa partie entière.

  1. Déterminer \lfloor 3,7 \rfloor, \lfloor -2,1 \rfloor, \lfloor 5 \rfloor.
  2. Montrer que \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1.

Cours

📝 Chapitre 02 : Calculs algébriques dans ℝ