TD — Raisonnements, notions d’ensemble et d’application

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT (1re année) — TD du Chapitre 01. Connecteurs logiques, quantificateurs, raisonnements (récurrence, contraposée, absurde, disjonction des cas), ensembles, applications, injections, surjections, bijections.

Exercice 1

Soient P, Q, R trois propositions. Montrer que :

  1. P \Rightarrow (Q \Rightarrow R) est équivalente à (P \wedge Q) \Rightarrow R.
  2. \neg(P \wedge Q) est équivalente à (\neg P) \vee (\neg Q) (lois de De Morgan).
  3. P \Rightarrow Q est équivalente à (\neg P) \vee Q.
  4. La contraposée de P \Rightarrow Q est \neg Q \Rightarrow \neg P.

Exercice 2

Soient P(x) et Q(x) deux propositions dépendant de x \in E. Montrer que :

  1. \forall x \in E,\; P(x) \wedge Q(x) équivaut à (\forall x,\; P(x)) \wedge (\forall x,\; Q(x)).
  2. \exists x \in E,\; P(x) \vee Q(x) équivaut à (\exists x,\; P(x)) \vee (\exists x,\; Q(x)).
  3. \neg(\forall x,\; P(x)) équivaut à \exists x,\; \neg P(x).
  4. \forall x\; \exists y,\; R(x,y) n’équivaut pas en général à \exists y\; \forall x,\; R(x,y). Donner un contre-exemple.

Exercice 3

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
  2. \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  3. 2^n > n

Exercice 4

Montrer par l’absurde que :

  1. \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.
  2. Il existe une infinité de nombres premiers.

Indications : (1) Supposer \sqrt{2} = p/q avec p \wedge q = 1. Montrer 2 \mid p puis 2 \mid q. (2) Supposer p_1, \ldots, p_n premiers. Poser N = p_1 \cdots p_n + 1.

Exercice 5

Montrer par contraposée que :

  1. Si n^2 est pair, alors n est pair.
  2. Si ab est impair, alors a et b sont impairs.

Exercice 6

Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que :

  1. A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
  2. A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C
  3. \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B) et que l’inclusion est stricte en général.

Indication : E = \{1,2\}, A = \{1\}, B = \{2\}. Alors \{1,2\} \in \mathcal{P}(A \cup B) mais \{1,2\} \notin \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B).

Exercice 7

Soit f : E \to F une application. Montrer que :

  1. f est injective \iff \forall A \in \mathcal{P}(E),\; f^{-1}(f(A)) = A.
  2. f est surjective \iff \forall B \in \mathcal{P}(F),\; f(f^{-1}(B)) = B.

Exercice 8

Soient f : E \to F et g : F \to G deux applications. Montrer que :

  1. Si f et g sont injectives, alors g \circ f est injective.
  2. Si f et g sont surjectives, alors g \circ f est surjective.
  3. Si g \circ f est injective, alors f est injective.
  4. Si g \circ f est surjective, alors g est surjective.

Exercice 9

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{x}{1+|x|}.

  1. Montrer que f est bien définie sur \mathbb{R}.
  2. Montrer que f est injective.
  3. Montrer que f n’est pas surjective sur \mathbb{R}.
  4. Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R} sur ]-1, 1[ et déterminer sa réciproque.

Indications : (2) Résoudre f(x) = f(y) en distinguant les cas x, y \geq 0 et x, y < 0. (4) Pour y \in ]-1,1[, résoudre y = \frac{x}{1+|x|}.

Exercice 10

Soit f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z} définie par f(n) = (-1)^n \left\lfloor \dfrac{n+1}{2} \right\rfloor. Montrer que f est bijective.

Cours

📝 Chapitre 01 : Raisonnements, notions d’ensemble et d’application