Cours – Raisonnements, notions d’ensemble et d’application

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT (1re année) — Chapitre 01. Connecteurs logiques, quantificateurs, raisonnements (récurrence, contraposée, absurde, disjonction des cas), ensembles, applications, injections, surjections, bijections.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECT.

1 Éléments de logique

1.1 Propositions et connecteurs logiques

Définition 1.1 — (Proposition)

Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux. On note généralement les propositions par P, Q, R, etc.

Définition 1.2 — (Connecteurs logiques)

Soient P et Q deux propositions. On définit :

Connecteur Notation Lecture
Négation \neg P « non P »
Conjonction P \wedge Q « P et Q »
Disjonction P \vee Q « P ou Q »
Implication P \Rightarrow Q « si P alors Q »
Équivalence P \Leftrightarrow Q « P si et seulement si Q »

Proposition 1.1 — (Tables de vérité)

Les tables de vérité des connecteurs logiques sont :

P Q P \wedge Q P \vee Q P \Rightarrow Q P \Leftrightarrow Q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V

L’implication P \Rightarrow Q est fausse uniquement quand P est vraie et Q est fausse. En particulier, si P est fausse, alors P \Rightarrow Q est vraie quelle que soit la valeur de Q.

Proposition 1.2 — (Propriétés fondamentales)

Pour toutes propositions P, Q, R :

  1. P \Rightarrow Q est équivalente à (\neg Q) \Rightarrow (\neg P) (contraposée).
  2. P \Leftrightarrow Q est équivalente à (P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow P).
  3. \neg(P \wedge Q) est équivalente à (\neg P) \vee (\neg Q) (De Morgan).
  4. \neg(P \vee Q) est équivalente à (\neg P) \wedge (\neg Q) (De Morgan).

1.2 Quantificateurs

Définition 1.3 — (Quantificateurs)

Soit E un ensemble et P(x) une proposition dépendant de x \in E.

  • Le quantificateur universel \forall x \in E signifie « pour tout x de E ».
  • Le quantificateur existentiel \exists x \in E signifie « il existe au moins un x de E ».

Proposition 1.3 — (Négation des quantificateurs)

\neg(\forall x \in E,\; P(x)) \iff \exists x \in E,\; \neg P(x) \neg(\exists x \in E,\; P(x)) \iff \forall x \in E,\; \neg P(x)

L’ordre des quantificateurs est important : \forall x\; \exists y\; R(x,y) n’est pas équivalent à \exists y\; \forall x\; R(x,y) en général.

1.3 Méthodes de raisonnement

Méthode 1.1 — (Raisonnement par récurrence)

Pour montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n \in \mathbb{N} :

  1. Initialisation : montrer que P(n_0) est vraie pour un certain n_0.
  2. Hérédité : montrer que si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie.
  3. Conclusion : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n \geq n_0.

Exemple 1.1

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.

Initialisation : pour n = 1 : \sum_{k=1}^1 k = 1 = \frac{1 \cdot 2}{2}. ✓

Hérédité : supposons \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}. Alors : \sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^n k + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Conclusion : par récurrence, \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} pour tout n \in \mathbb{N}^*.

Méthode 1.2 — (Raisonnement par contraposée)

Pour montrer P \Rightarrow Q, on montre \neg Q \Rightarrow \neg P.

Exemple 1.2

Montrer que si n^2 est pair, alors n est pair.

Contraposée : si n est impair, alors n^2 est impair. Si n = 2k+1, alors n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k)+1 est impair. ✓

Méthode 1.3 — (Raisonnement par l’absurde)

Pour montrer qu’une proposition P est vraie, on suppose \neg P et on aboutit à une contradiction.

Exemple 1.3

Montrer que \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

Par l’absurde : supposons \sqrt{2} = \frac{p}{q} avec p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 et p \wedge q = 1. Alors 2q^2 = p^2, donc 2 \mid p^2, donc 2 \mid p. Posons p = 2k. Alors 2q^2 = 4k^2, donc q^2 = 2k^2, donc 2 \mid q. Contradiction avec p \wedge q = 1.

Méthode 1.4 — (Raisonnement par disjonction des cas)

Pour montrer qu’une proposition P est vraie, on divise en cas exhaustifs et on montre P dans chaque cas.

2 Ensembles

2.1 Définitions et opérations

Définition 2.1 — (Ensemble, appartenance, inclusion)

Un ensemble E est une collection d’objets appelés éléments. On note :

  • x \in E : « x appartient à E ».
  • A \subset E : « A est inclus dans E » (tout élément de A est élément de E).
  • \varnothing : l’ensemble vide.

Définition 2.2 — (Opérations sur les ensembles)

Soient A et B deux ensembles.

  • Union : A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}
  • Intersection : A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}
  • Différence : A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \notin B\}
  • Complémentaire : \overline{A} = E \setminus A (dans un ensemble E)
  • Produit cartésien : A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \text{ et } b \in B\}

Proposition 2.1 — (Propriétés des opérations)

Pour tous ensembles A, B, C :

  1. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
  2. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  3. \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}
  4. \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

Définition 2.3 — (Ensemble des parties)

L’ensemble des parties de E, noté \mathcal{P}(E), est l’ensemble de tous les sous-ensembles de E. Si E est fini de cardinal n, alors \mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n.

3 Applications

3.1 Définitions

Définition 3.1 — (Application)

Soient E et F deux ensembles. Une application f : E \to F est la donnée de :

  • un ensemble E appelé ensemble de départ ;
  • un ensemble F appelé ensemble d’arrivée ;
  • une règle qui à tout x \in E associe un unique élément f(x) \in F.

Définition 3.2 — (Image, antécédent)

Soit f : E \to F une application.

  • L’image de x \in E est f(x) \in F.
  • Un antécédent de y \in F est un x \in E tel que f(x) = y.
  • L’image de A \subset E est f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}.
  • L’image réciproque de B \subset F est f^{-1}(B) = \{x \in E \mid f(x) \in B\}.

3.2 Injection, surjection, bijection

Définition 3.3 — (Injection)

f : E \to F est injective si : \forall x, x' \in E,\quad f(x) = f(x') \implies x = x'

Autrement dit, tout élément de F admet au plus un antécédent.

Définition 3.4 — (Surjection)

f : E \to F est surjective si : \forall y \in F,\quad \exists x \in E,\quad f(x) = y

Autrement dit, tout élément de F admet au moins un antécédent.

Définition 3.5 — (Bijection)

f : E \to F est bijective si elle est injective et surjective. Autrement dit, tout élément de F admet un unique antécédent.

Si f est bijective, on note f^{-1} : F \to E la bijection réciproque.

Proposition 3.1 — (Propriétés des injections, surjections, bijections)

Soient f : E \to F et g : F \to G deux applications.

  1. Si f et g sont injectives, alors g \circ f est injective.
  2. Si f et g sont surjectives, alors g \circ f est surjective.
  3. Si f et g sont bijectives, alors g \circ f est bijective et (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

Exemple 3.1

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = 2x + 1.

  • Injectivité : f(x) = f(x') \implies 2x+1 = 2x'+1 \implies x = x'. ✓
  • Surjectivité : pour tout y \in \mathbb{R}, x = \frac{y-1}{2} vérifie f(x) = y. ✓
  • Donc f est bijective et f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}.

Exemple 3.2

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = x^2.

  • f n’est pas injective car f(1) = f(-1) = 1.
  • f n’est pas surjective car -1 \in \mathbb{R} n’a pas d’antécédent.
  • Cependant, f : [0, +\infty[ \to [0, +\infty[ est bijective de réciproque x \mapsto \sqrt{x}.

4 Exercices

Exercice 4.1

Soient P et Q deux propositions. Montrer que (P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee Q).

Exercice 4.2

Nier les propositions suivantes :

  1. \forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0
  2. \exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = -1
  3. \forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N,\; |u_n - \ell| < \varepsilon

Exercice 4.3

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  2. 2^n > n

Exercice 4.4

Montrer par contraposée que si ab est impair, alors a et b sont impairs.

Exercice 4.5

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{x}{1+|x|}.

  1. Montrer que f est injective.
  2. Montrer que f n’est pas surjective.
  3. Montrer que f : \mathbb{R} \to ]-1, 1[ est bijective et déterminer f^{-1}.

Exercice 4.6

Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que :

  1. A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
  2. A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C

Exercice 4.7

Soit f : E \to F une application. Montrer que f est injective si et seulement si pour tout A \subset E, f^{-1}(f(A)) = A.

Exercice 4.8

Soit f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z} définie par f(n) = (-1)^n \lfloor n/2 \rfloor. Montrer que f est bijective.

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📝 Chapitre 01 : Raisonnements, notions d’ensemble et d’application

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