TD — Systèmes d’équations linéaires et introduction au calcul matriciel

Chapitre 08

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECT1 (1re année) — TD du Chapitre 08. Systèmes linéaires, pivot de Gauss, matrices, opérations, inversibilité.

Exercice 1

Résoudre par substitution :

  1. \begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=1 \end{cases}

  2. \begin{cases} 3x+2y=7\\ x-y=4 \end{cases}

Exercice 2

Résoudre par la méthode du pivot de Gauss : \begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2 \end{cases}

Exercice 3

Résoudre le système : \begin{cases} x+2y+3z=1\\ 2x+4y+6z=2\\ 3x+6y+9z=3 \end{cases} Que remarque-t-on ?

Exercice 4

On donne : A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}.

Calculer :

  1. A+B
  2. 2A-3B
  3. AB
  4. BA

Exercice 5

Soit : A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}.

  1. Calculer \det(A).
  2. Montrer que A est inversible.
  3. Calculer A^{-1}.

Exercice 6

Résoudre le système matriciel : \begin{pmatrix} 2&1\\ 5&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 4 \end{pmatrix}.

Exercice 7

Soit : A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.

  1. Calculer A^2 et A^3.
  2. Conjecturer une formule pour A^n.
  3. Démontrer cette formule par récurrence.

Exercice 8

Montrer que pour toutes matrices compatibles A et B : (AB)^T=B^T A^T.

Exercice 9

Soit A une matrice carrée telle que A^2=A.

  1. Calculer A^3.
  2. Calculer A^n pour tout n \geq 1.
  3. Donner un exemple de matrice non nulle vérifiant A^2=A.

Cours

📝 Chapitre 08 : Systèmes d’équations linéaires et introduction au calcul matriciel