TD — Convergences et approximations

Chapitre 09

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 09. Markov, Tchebychev, loi faible des grands nombres, théorème central limite.

Exercice 1

Soit X une variable aléatoire positive avec E(X) = 10.

  1. Majorer P(X \geq 20) à l’aide de l’inégalité de Markov.
  2. Majorer P(X \geq 50).

Exercice 2

Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 5 et V(X) = 9.

  1. Majorer P(|X - 5| \geq 3) à l’aide de l’inégalité de Tchebychev.
  2. Majorer P(|X - 5| \geq 6).

Exercice 3

On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n la somme des résultats obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. Utiliser l’inégalité de Tchebychev pour majorer P(|S_n - 3{,}5n| \geq n).
  3. Utiliser le théorème central limite pour approcher P(S_n \leq 3{,}2n) pour n = 100.

Exercice 4

On lance n fois une pièce équilibrée. Soit S_n le nombre de piles obtenus.

  1. Montrer que S_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, 1/2).
  2. Utiliser le théorème central limite pour approcher P(40 \leq S_n \leq 60) pour n = 100.

Exercice 5

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p, indépendantes.

  1. Montrer que \overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k converge en probabilité vers p.
  2. Utiliser l’inégalité de Tchebychev pour majorer P(|\overline{X}_n - p| \geq \varepsilon).

Exercice 6

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi uniforme sur [0, 1].

  1. Calculer E(X_k) et V(X_k).
  2. Montrer que \overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k converge en probabilité vers \frac{1}{2}.
  3. Utiliser le théorème central limite pour approcher P(\overline{X}_n < 0{,}6) pour n = 100.

Exercice 7

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi exponentielle de paramètre \lambda.

  1. Calculer E(X_k) et V(X_k).
  2. Montrer que \overline{X}_n converge en probabilité vers \frac{1}{\lambda}.
  3. Utiliser le théorème central limite pour approcher P(\overline{X}_n < 2/\lambda) pour n = 100.

Exercice 8

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi de Poisson de paramètre \lambda.

  1. Montrer que S_n = X_1 + \cdots + X_n \hookrightarrow \mathcal{P}(n\lambda).
  2. Utiliser le théorème central limite pour approcher P(S_n \leq n\lambda + \sqrt{n\lambda}) pour n grand.

Exercice 9

Soit X une variable aléatoire positive avec E(X) = 4.

  1. Majorer P(X \geq 8).
  2. Si V(X) = 4, majorer P(|X - 4| \geq 4) à l’aide de l’inégalité de Tchebychev.

Exercice 10

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi uniforme sur [-1, 1].

  1. Calculer E(X_k) et V(X_k).
  2. Montrer que \overline{X}_n converge en probabilité vers 0.
  3. Utiliser le théorème central limite pour approcher P(|\overline{X}_n| < 0{,}1) pour n = 100.

Cours

📝 Chapitre 09 : Convergences et approximations