Cours – Convergences et approximations
Chapitre 09
ECS (2e année) — Chapitre 09. Markov, Tchebychev, loi faible des grands nombres, théorème central limite.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Inégalité de Markov
Théorème 1.1 — (Inégalité de Markov)
Soit X une variable aléatoire positive admettant une espérance. Pour tout a > 0 : P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}
Exemple 1.1
Si E(X) = 5, alors P(X \geq 10) \leq 1/2.
2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème 2.1 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
Soit X une variable aléatoire admettant une variance. Pour tout \varepsilon > 0 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Preuve. On applique l’inégalité de Markov à (X - E(X))^2 \geq 0 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) = P((X - E(X))^2 \geq \varepsilon^2) \leq \frac{E((X - E(X))^2)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Exemple 2.1
Si E(X) = 10 et V(X) = 4, alors P(|X - 10| \geq 4) \leq 4/16 = 1/4.
3 Convergence en probabilité
Définition 3.1 — (Convergence en probabilité)
(X_n) converge en probabilité vers X, noté X_n \xrightarrow{P} X, si : \forall \varepsilon > 0, \quad P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \to 0
4 Loi faible des grands nombres
Théorème 4.1 — (Loi faible des grands nombres)
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons \mu = E(X_1) et \sigma^2 = V(X_1). Alors : \overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \xrightarrow{P} \mu
Preuve. E(\overline{X}_n) = \mu et V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n. Par Bienaymé-Tchebychev : P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0
Exemple 4.1 — (Fréquence empirique)
Si (X_n) est une suite de variables de Bernoulli \mathcal{B}(p) indépendantes, alors la fréquence empirique \overline{X}_n \xrightarrow{P} p.
5 Convergence en loi
Définition 5.1 — (Convergence en loi)
(X_n) converge en loi vers X, noté X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X, si pour tout point de continuité x de F_X : F_{X_n}(x) \to F_X(x)
Proposition 5.1
La convergence en probabilité implique la convergence en loi.
Théorème 5.1 — (Convergence de binomiale vers Poisson)
Si X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \lambda/n), alors X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).
6 Théorème central limite
Théorème 6.1 — (Théorème central limite)
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons \mu = E(X_1) et \sigma = \sigma(X_1) > 0. Alors : \frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\left(\sum_{k=1}^n X_k - n\mu\right) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)
La vitesse de convergence de la loi des grands nombres est en \sigma/\sqrt{n}. Ce théorème permet d’approcher la loi de la somme d’un grand nombre de variables indépendantes par une loi normale.
Exemple 6.1 — (Approximation normale)
Si X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p), alors pour n grand : \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx \mathcal{N}(0, 1)
7 Exercices
Exercice 7.1
Soit X une variable aléatoire positive avec E(X) = 10. Majorer P(X \geq 20).
Exercice 7.2
Soit X avec E(X) = 5 et V(X) = 9. Majorer P(|X - 5| \geq 6).
Exercice 7.3
On lance n fois un dé équilibré. Soit S_n la somme des résultats.
- Calculer E(S_n) et V(S_n).
- Utiliser le TCL pour approcher P(S_n \leq 3{,}2n) pour n = 100.
Exercice 7.4
Soit X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, 1/n). Montrer que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(1).
Exercice 7.5
Soit (X_n) une suite de variables de Bernoulli \mathcal{B}(p) indépendantes. Montrer que \overline{X}_n \xrightarrow{P} p.
Exercice 7.6
Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([0,1]). Utiliser l’inégalité de Markov pour majorer P(X \geq 0{,}8).
Exercice 7.7
Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(1). Utiliser l’inégalité de Tchebychev pour majorer P(|X - 1| \geq 3).
Exercice 7.8
On lance 100 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles. Utiliser le TCL pour approcher P(40 \leq X \leq 60).