Cours – Vecteurs aléatoires
Chapitre 08
ECS (2e année) — Chapitre 08. Lois conjointes, marginales, conditionnelles, covariance, corrélation linéaire.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
Dans tout ce chapitre, (X, Y) désigne un couple de variables aléatoires.
1 Loi conjointe
Définition 1.1 — (Loi conjointe)
La loi conjointe de (X, Y) est la donnée des P(X = x, Y = y) pour (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), avec : \sum_{x} \sum_{y} P(X = x, Y = y) = 1
2 Lois marginales
Définition 2.1 — (Lois marginales)
Les lois marginales de X et Y sont : P(X = x) = \sum_y P(X = x, Y = y), \quad P(Y = y) = \sum_x P(X = x, Y = y)
Exemple 2.1
Soit (X, Y) de loi conjointe :
| X \setminus Y | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 1/4 | 1/4 |
| 1 | 1/4 | 1/4 |
Lois marginales : P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2, idem pour Y.
3 Lois conditionnelles
Définition 3.1 — (Loi conditionnelle)
Si P(Y = y) > 0, la loi conditionnelle de X sachant Y = y est : P(X = x \mid Y = y) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(Y = y)}
Proposition 3.1 — (Formule des probabilités totales)
P(X = x) = \sum_y P(X = x \mid Y = y) P(Y = y)
Théorème 3.1 — (Formule de Bayes)
P(Y = y \mid X = x) = \frac{P(X = x \mid Y = y) P(Y = y)}{\sum_{y'} P(X = x \mid Y = y') P(Y = y')}
4 Indépendance
Définition 4.1 — (Indépendance)
X et Y sont indépendantes si pour tout (x, y) : P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y)
Proposition 4.1 — (Caractérisation par les lois conditionnelles)
X et Y sont indépendantes si et seulement si la loi conditionnelle de X sachant Y = y est égale à la loi marginale de X, pour tout y avec P(Y = y) > 0.
5 Covariance
Définition 5.1 — (Covariance)
Si X et Y admettent un moment d’ordre 2 : \mathrm{cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)
Proposition 5.1 — (Propriétés)
- \mathrm{cov}(X, X) = V(X).
- \mathrm{cov}(X, Y) = \mathrm{cov}(Y, X).
- \mathrm{cov}(aX + b, cY + d) = ac \, \mathrm{cov}(X, Y).
- \mathrm{cov}(X + Y, Z) = \mathrm{cov}(X, Z) + \mathrm{cov}(Y, Z).
Proposition 5.2 — (Indépendance implique covariance nulle)
Si X et Y sont indépendantes et admettent un moment d’ordre 2, alors \mathrm{cov}(X, Y) = 0.
La réciproque est fausse : \mathrm{cov}(X, Y) = 0 n’implique pas l’indépendance.
Proposition 5.3 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
|\mathrm{cov}(X, Y)| \leq \sigma(X) \sigma(Y)
6 Corrélation linéaire
Définition 6.1 — (Coefficient de corrélation)
Si \sigma(X) > 0 et \sigma(Y) > 0 : \rho(X, Y) = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}
Proposition 6.1 — (Propriétés)
- \rho(X, Y) \in [-1, 1].
- \rho(X, Y) = 1 \iff \exists (a, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R} avec a > 0 tel que Y = aX + b presque sûrement.
- \rho(X, Y) = -1 \iff idem avec a < 0.
7 Vecteurs aléatoires à densité
Définition 7.1 — (Vecteur aléatoire à densité)
(X, Y) est à densité s’il existe f_{X,Y} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^+ continue par morceaux telle que : P((X, Y) \in D) = \iint_D f_{X,Y}(x, y)\, dx\, dy pour tout domaine D du plan.
Proposition 7.1 — (Lois marginales à densité)
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y)\, dy, \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y)\, dx
8 Exercices
Exercice 8.1
Soit (X, Y) de loi conjointe :
| X \setminus Y | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0{,}2 | 0{,}3 |
| 1 | 0{,}1 | 0{,}4 |
- Déterminer les lois marginales.
- X et Y sont-elles indépendantes ?
- Calculer E(X), E(Y), \mathrm{cov}(X, Y).
Exercice 8.2
Soient X et Y indépendantes suivant \mathcal{B}(p). Déterminer la loi de X + Y.
Exercice 8.3
Soient X et Y indépendantes suivant \mathcal{E}(\lambda). Déterminer la densité de X + Y.
Exercice 8.4
Soit (X, Y) de densité f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} c(x + y) & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.
- Déterminer c.
- Déterminer les lois marginales.
- X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 8.5
Soient X et Y avec V(X) = 4, V(Y) = 9, \mathrm{cov}(X, Y) = 3. Calculer \rho(X, Y) et V(X + Y).
Exercice 8.6
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p). Montrer que V(X) = np(1-p) en écrivant X = X_1 + \cdots + X_n avec les X_i indépendantes suivant \mathcal{B}(p).
Exercice 8.7
Soient X et Y indépendantes suivant \mathcal{N}(0, 1). Déterminer la loi de X + Y.
Exercice 8.8
Soit (X, Y) de densité f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} e^{-y} & 0 \leq x \leq y \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.
- Vérifier que f_{X,Y} est une densité.
- Déterminer les lois marginales.
- X et Y sont-elles indépendantes ?