Cours – Variables aléatoires à densité
Chapitre 07
ECS (2e année) — Chapitre 07. Densités, fonction de répartition, lois uniforme, exponentielle, normale ; espérance et variance.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Densité et fonction de répartition
1.1 Densité
Définition 1.1 — (Densité de probabilité)
Une fonction f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est une densité de probabilité si :
- f \geq 0 sur \mathbb{R}.
- f est continue par morceaux sur \mathbb{R}.
- \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, dt = 1.
Définition 1.2 — (Variable à densité)
Une variable aléatoire X est à densité si sa fonction de répartition F_X est continue sur \mathbb{R} et de classe \mathcal{C}^1 sauf en un nombre fini de points. Une densité de X est : f_X(x) = F_X'(x) \quad \text{aux points où } F_X \text{ est } \mathcal{C}^1
1.2 Fonction de répartition
Définition 1.3 — (Fonction de répartition)
F_X(x) = P(X \leq x)
Proposition 1.1 — (Propriétés)
- F_X est croissante.
- F_X est continue à droite.
- \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 et \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.
- Pour a < b : P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a).
- Pour une variable à densité : P(X = a) = 0.
Proposition 1.2 — (Calcul de probabilités)
Pour une variable à densité et a < b : P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b) = \int_a^b f_X(t)\, dt
2 Espérance et variance
Définition 2.1 — (Espérance)
X admet une espérance si \int_{-\infty}^{+\infty} |t| f_X(t)\, dt converge, et : E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t f_X(t)\, dt
Définition 2.2 — (Variance)
X admet une variance si \int_{-\infty}^{+\infty} (t - E(X))^2 f_X(t)\, dt converge, et : V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2
Proposition 2.1 — (Formule de transfert)
Si \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est continue par morceaux : E(\varphi(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) f_X(t)\, dt
3 Lois usuelles à densité
3.1 Loi uniforme
Définition 3.1 — (Loi uniforme)
X \hookrightarrow \mathcal{U}([a,b]) si : f_X(t) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } t \in [a,b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
Proposition 3.1 — (Espérance et variance)
E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
3.2 Loi exponentielle
Définition 3.2 — (Loi exponentielle)
X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda) (\lambda > 0) si : f_X(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}
Proposition 3.2 — (Fonction de répartition)
F_X(t) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}
Proposition 3.3 — (Espérance et variance)
E(X) = \frac{1}{\lambda}, \quad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}
Proposition 3.4 — (Absence de mémoire)
P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)
3.3 Loi normale
Définition 3.3 — (Loi normale centrée réduite)
X \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1) si : f_X(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}
Définition 3.4 — (Loi normale)
X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) (\sigma > 0) si : f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(t-\mu)^2/(2\sigma^2)}
Proposition 3.5 — (Espérance et variance)
E(X) = \mu, \quad V(X) = \sigma^2
Proposition 3.6 — (Translation et dilatation)
Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), alors pour (a,b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R} : aX + b \hookrightarrow \mathcal{N}(a\mu + b, a^2\sigma^2) En particulier, X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1).
Proposition 3.7 — (Somme de normales indépendantes)
Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2) et Y \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2) sont indépendantes : X + Y \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)
4 Exercices
Exercice 4.1
Soit f(t) = \begin{cases} c e^{-t} & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}. Déterminer c pour que f soit une densité.
Exercice 4.2
Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([0,1]). Calculer E(X), V(X) et P(0{,}2 < X < 0{,}7).
Exercice 4.3
Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(2). Calculer E(X), V(X) et P(X > 1).
Exercice 4.4
Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1). Calculer P(-1 < X < 1) (résultat approché : 0{,}68).
Exercice 4.5
Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(10, 4). Déterminer la loi de Y = 2X + 3.
Exercice 4.6
Soit X à densité f_X(t) = \begin{cases} 2t & 0 \leq t \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.
- Vérifier que f_X est une densité.
- Calculer E(X) et V(X).
- Déterminer F_X.
Exercice 4.7
Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda). Montrer l’absence de mémoire.
Exercice 4.8
Soient X et Y indépendantes suivant \mathcal{E}(\lambda). Déterminer la loi de X + Y.