Cours – Variables aléatoires discrètes infinies

Chapitre 06

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — Chapitre 06. Tribus, espaces probabilisés, lois géométrique et de Poisson, fonctions génératrices.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.

1 Tribus et espaces probabilisés

1.1 Tribu

Définition 1.1 — (Tribu)

Soit \Omega un ensemble non vide. Une tribu (ou \sigma-algèbre) \mathcal{A} sur \Omega est une partie de \mathcal{P}(\Omega) vérifiant :

  1. \Omega \in \mathcal{A}.
  2. A \in \mathcal{A} \Rightarrow \overline{A} \in \mathcal{A}.
  3. Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’éléments de \mathcal{A} : \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \in \mathcal{A}.

Définition 1.2 — (Espace probabilisable)

Le couple (\Omega, \mathcal{A}) est un espace probabilisable.

Exemple 1.1

  1. \mathcal{P}(\Omega) est une tribu (tribu discrète).
  2. \{\varnothing, \Omega\} est une tribu (tribu grossière).
  3. La tribu borélienne \mathcal{B}(\mathbb{R}) est la plus petite tribu contenant les intervalles de \mathbb{R}.

1.2 Probabilité

Définition 1.3 — (Probabilité)

Une probabilité sur (\Omega, \mathcal{A}) est une application P : \mathcal{A} \to [0,1] vérifiant :

  1. P(\Omega) = 1.
  2. Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’événements deux à deux incompatibles : P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)

Définition 1.4 — (Espace probabilisé)

Le triplet (\Omega, \mathcal{A}, P) est un espace probabilisé.

Proposition 1.1 — (Continuité des probabilités)

  1. Si (A_n) est croissante : P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n).
  2. Si (A_n) est décroissante : P\left(\bigcap_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n).

2 Variables aléatoires discrètes infinies

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Variable aléatoire discrète)

Une variable aléatoire X : \Omega \to E (où E est au plus dénombrable) est discrète si : \forall x \in E, \quad X^{-1}(\{x\}) = \{X = x\} \in \mathcal{A}

Définition 2.2 — (Loi d’une variable discrète)

La loi de X est la donnée des P(X = x) pour x \in X(\Omega), avec : \sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x) = 1

3 Lois usuelles discrètes infinies

3.1 Loi géométrique

Définition 3.1 — (Loi géométrique)

X \hookrightarrow \mathcal{G}(p) (p \in ]0,1]) si : P(X = k) = p(1-p)^{k-1}, \quad k \in \mathbb{N}^*

X compte le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier succès.

Proposition 3.1 — (Espérance et variance)

E(X) = \frac{1}{p}, \quad V(X) = \frac{1-p}{p^2}

Proposition 3.2 — (Absence de mémoire)

P(X > n + k \mid X > k) = P(X > n)

3.2 Loi de Poisson

Définition 3.2 — (Loi de Poisson)

X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda) (\lambda > 0) si : P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k \in \mathbb{N}

Proposition 3.3 — (Espérance et variance)

E(X) = \lambda, \quad V(X) = \lambda

Proposition 3.4 — (Somme de Poisson indépendantes)

Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_2) sont indépendantes, alors : X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2)

4 Fonctions génératrices

4.1 Définition

Définition 4.1 — (Fonction génératrice)

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N}. La fonction génératrice de X est : G_X(s) = E(s^X) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X = k) s^k définie au moins sur [-1, 1].

4.2 Propriétés

Proposition 4.1 — (Lien avec espérance et variance)

  1. G_X(1) = 1.
  2. X admet une espérance \iff G_X est dérivable en 1, et E(X) = G_X'(1).
  3. X admet un moment d’ordre 2 \iff G_X est deux fois dérivable en 1, et : V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2

Proposition 4.2 — (Fonction génératrice d’une somme)

Si X et Y sont indépendantes à valeurs dans \mathbb{N} : G_{X+Y}(s) = G_X(s) \cdot G_Y(s)

Exemple 4.1 — (Fonctions génératrices usuelles)

  • Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(p) : G_X(s) = 1 - p + ps.
  • Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p) : G_X(s) = (1-p+ps)^n.
  • Si X \hookrightarrow \mathcal{G}(p) : G_X(s) = \frac{ps}{1-(1-p)s} pour |s| < \frac{1}{1-p}.
  • Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda) : G_X(s) = e^{\lambda(s-1)}.

5 Exercices

Exercice 5.1

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir pile. Soit X le nombre de lancers nécessaires.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 5.2

Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).

  1. Déterminer G_X(s).
  2. En déduire E(X) et V(X).

Exercice 5.3

Soient X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_2) indépendantes. Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2).

Exercice 5.4

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} de fonction génératrice G_X(s) = \frac{1}{2-s}. Déterminer la loi de X.

Exercice 5.5

Soit X \hookrightarrow \mathcal{G}(p). Montrer que P(X > n) = (1-p)^n.

Exercice 5.6

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires avec X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \lambda/n). Montrer que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).

Exercice 5.7

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} avec P(X = k) = \frac{c}{k!} pour k \geq 0. Déterminer c et la loi de X.

Exercice 5.8

Soit X \hookrightarrow \mathcal{G}(p). Montrer l’absence de mémoire : P(X > n + k \mid X > k) = P(X > n).

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📝 Chapitre 06 : Variables aléatoires discrètes infinies

Voir TD

✍️ TD 06 : Variables aléatoires discrètes infinies