Cours – Intégrales généralisées
Chapitre 05
ECS (2e année) — Chapitre 05. Convergence, critères pour fonctions positives, convergence absolue.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Définition
Définition 1.1 — (Intégrale généralisée)
Soit f : [a, b[ \to \mathbb{R} continue par morceaux, où b \in ]a, +\infty] ou b = +\infty. L’intégrale \int_a^b f(t)\, dt converge si : \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\, dt existe et est finie. On la note alors \int_a^b f(t)\, dt.
Définition 1.2 — (Cas \boldsymbol{]a, b]})
Si f : ]a, b] \to \mathbb{R}, l’intégrale \int_a^b f(t)\, dt converge si \lim_{x \to a^+} \int_x^b f(t)\, dt existe et est finie.
Définition 1.3 — (Cas \boldsymbol{]a, b[})
Si f : ]a, b[ \to \mathbb{R}, l’intégrale converge si pour un c \in ]a, b[, les deux intégrales \int_a^c f et \int_c^b f convergent (indépendamment du choix de c).
2 Intégrales de référence
2.1 Riemann en +\infty
Proposition 2.1 — (Riemann en \boldsymbol{+\infty})
\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1, et : \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}
2.2 Riemann en 0
Proposition 2.2 — (Riemann en \boldsymbol{0^+})
\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha < 1, et : \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{1 - \alpha}
2.3 Exponentielle
Proposition 2.3
\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt converge si et seulement si \alpha > 0, et : \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt = \frac{1}{\alpha}
Proposition 2.4
\int_0^1 \ln t\, dt converge et vaut -1.
3 Critères pour fonctions positives
Théorème 3.1 — (Comparaison)
Soient f, g : [a, b[ \to \mathbb{R}^+ continues par morceaux avec 0 \leq f(t) \leq g(t) au voisinage de b.
- Si \int_a^b g(t)\, dt converge, alors \int_a^b f(t)\, dt converge.
- Si \int_a^b f(t)\, dt diverge, alors \int_a^b g(t)\, dt diverge.
Théorème 3.2 — (Équivalence)
Si f(t) \sim_b g(t) avec f, g \geq 0, alors \int_a^b f et \int_a^b g sont de même nature.
Théorème 3.3 — (Critère de Riemann)
Si f(t) \sim_b \frac{1}{(b-t)^\alpha} (ou \frac{1}{t^\alpha} en +\infty) :
- En +\infty : convergence ssi \alpha > 1.
- En a^+ : convergence ssi \alpha < 1.
4 Convergence absolue
Définition 4.1 — (Convergence absolue)
\int_a^b f(t)\, dt est absolument convergente si \int_a^b |f(t)|\, dt converge.
Théorème 4.1
Toute intégrale absolument convergente est convergente. De plus : \left|\int_a^b f(t)\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\, dt
Exemple 4.1
\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\, dt converge absolument car \left|\frac{\sin t}{t^2}\right| \leq \frac{1}{t^2}.
Exemple 4.2 — (Semi-convergence)
\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt converge (par IPP) mais pas absolument.
5 Exercices
Exercice 5.1
Étudier la convergence de :
- \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 1}
- \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}
- \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\, dt
Exercice 5.2
Étudier \int_0^{+\infty} \frac{1 - \cos t}{t^\alpha}\, dt selon \alpha.
Exercice 5.3
Calculer \int_0^{+\infty} t e^{-t}\, dt.
Exercice 5.4
Étudier \int_0^1 \frac{\ln t}{t^\alpha}\, dt selon \alpha.
Exercice 5.5
Montrer que \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt converge mais pas absolument.
Exercice 5.6
Étudier \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^2}.
Exercice 5.7
Soit f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ continue, positive et décroissante. Montrer que \int_0^{+\infty} f(t)\, dt converge si et seulement si \sum f(n) converge.
Exercice 5.8
Étudier la convergence absolue de \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^\alpha}\, dt selon \alpha.