TD — Intégrales généralisées

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 05. Convergence, critères pour fonctions positives, convergence absolue.

Exercice 1

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1}
  2. \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^3 + 1}}
  3. \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}
  4. \int_0^1 \frac{dt}{t}

Exercice 2

Étudier la convergence des intégrales suivantes :

  1. \int_0^{+\infty} e^{-t}\, dt
  2. \int_0^{+\infty} t e^{-t}\, dt
  3. \int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\, dt pour n \in \mathbb{N}.

Exercice 3

Étudier la convergence absolue des intégrales suivantes :

  1. \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\, dt
  2. \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt
  3. \int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\, dt

Exercice 4

Étudier la convergence de l’intégrale \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^2} et calculer sa valeur.

Exercice 5

Étudier la convergence de l’intégrale \int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{1+t^2}\, dt et calculer sa valeur.

Indication : Effectuer le changement de variable u = 1/t.

Exercice 6

Étudier la convergence de \int_0^{+\infty} \frac{1 - \cos t}{t^\alpha}\, dt selon les valeurs de \alpha \in \mathbb{R}.

Exercice 7

Calculer, si elles convergent, les intégrales suivantes :

  1. \int_0^{+\infty} t e^{-2t}\, dt
  2. \int_0^{+\infty} t^2 e^{-t}\, dt
  3. \int_0^1 \ln t\, dt

Exercice 8

Étudier la convergence de \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^\alpha}\, dt selon les valeurs de \alpha \in \mathbb{R}.

Indication : Distinguer les cas \alpha \leq 0, 0 < \alpha \leq 1, et \alpha > 1. Utiliser le critère de Dirichlet pour 0 < \alpha \leq 1.

Exercice 9

Étudier la convergence de \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^\alpha} selon les valeurs de \alpha \in \mathbb{R}.

Exercice 10

Étudier la convergence de \int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{t^\alpha}\, dt selon les valeurs de \alpha \in \mathbb{R}.

Cours

📝 Chapitre 05 : Intégrales généralisées