TD — Séries numériques

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 04. Séries à termes positifs, convergence absolue, séries de Riemann, séries alternées.

Exercice 1

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}
  2. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^3 + 1}
  3. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^2}
  4. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}

Exercice 2

Étudier la convergence des séries suivantes à l’aide du critère de d’Alembert :

  1. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^n}
  2. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^n}{n!}
  3. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{n^3}

Exercice 3

Étudier la convergence des séries suivantes :

  1. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} (série alternée harmonique)
  2. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
  3. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}

Lesquelles convergent absolument ? Lesquelles sont semi-convergentes ?

Exercice 4

Étudier la convergence des séries de Riemann \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} selon les valeurs de \alpha \in \mathbb{R}.

Exercice 5

Étudier la convergence absolue des séries suivantes :

  1. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n^2}
  2. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n}
  3. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^2}

Exercice 6

Étudier la convergence de la série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n} pour n \geq 2.

Indication : Comparer avec la série de Riemann ou utiliser la comparaison série-intégrale.

Exercice 7

Étudier la convergence de la série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{n}. La convergence est-elle absolue ?

Exercice 8

Calculer la somme des séries suivantes :

  1. \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n}
  2. \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}
  3. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}

Exercice 9

Étudier la convergence de la série \sum_{n=1}^{+\infty} u_n où u_n = \frac{1}{n^2 + (-1)^n \sqrt{n}}.

Indication : Utiliser un développement asymptotique de u_n.

Exercice 10

Étudier la convergence de la série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha} selon les valeurs de \alpha \in \mathbb{R}.

Cours

📝 Chapitre 04 : Séries numériques