TD — Algèbre bilinéaire

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 03. Produit scalaire, bases orthonormées, matrices symétriques, théorème spectral.

Exercice 1

Montrer que les applications suivantes définissent des produits scalaires :

  1. Sur \mathbb{R}^2 : \langle (x_1, x_2), (y_1, y_2) \rangle = x_1 y_1 + 2x_2 y_2.
  2. Sur \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}) : \langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)\, dt.
  3. Sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : \langle A, B \rangle = \mathrm{tr}(A^T B).

Exercice 2

Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la famille (e_1, e_2, e_3) avec e_1 = (1,1,0), e_2 = (1,0,1), e_3 = (0,1,1) dans \mathbb{R}^3 muni du produit scalaire canonique.

Exercice 3

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

  1. Montrer que A est symétrique.
  2. Diagonaliser A orthogonalement.
  3. Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres.

Exercice 4

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Montrer que A est symétrique.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. Diagonaliser A orthogonalement.

Exercice 5

Soit A une matrice symétrique réelle. Montrer que :

  1. Toutes les valeurs propres de A sont réelles.
  2. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
  3. Si A est symétrique positive, alors toutes ses valeurs propres sont positives.

Exercice 6

Soit A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Montrer que A est symétrique.
  2. Diagonaliser A orthogonalement.
  3. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 7

Soit A une matrice symétrique réelle. Montrer que :

  1. \mathrm{tr}(A^2) \geq 0.
  2. \mathrm{tr}(A^2) = 0 si et seulement si A = 0.

Exercice 8

Soit A une matrice symétrique réelle définie positive.

  1. Montrer que \mathrm{tr}(A) > 0 et \det(A) > 0.
  2. Montrer que pour tout x \neq 0, x^T A x > 0.

Exercice 9

Soit A une matrice symétrique réelle de valeurs propres \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n. Montrer que pour tout x \in \mathbb{R}^n de norme 1 : \lambda_1 \leq x^T A x \leq \lambda_n.

Exercice 10

Soit A une matrice symétrique réelle. Montrer que A est symétrique positive si et seulement s’il existe une matrice B telle que A = B^T B.

Cours

📝 Chapitre 03 : Algèbre bilinéaire