TD — Réduction des endomorphismes et matrices

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 02. Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, trigonalisation, polynômes annulateurs.

Exercice 1

Soit A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer le polynôme caractéristique \chi_A.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Si oui, trouver P et D telles que A = PDP^{-1}.
  4. En déduire A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 2

Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A et les valeurs propres.
  2. Déterminer les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  4. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 3

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A et les valeurs propres.
  2. Déterminer les sous-espaces propres.
  3. Diagonaliser A et en déduire A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 4

Soit u \in \mathcal{L}(E) tel que u^3 = u.

  1. Montrer que u est diagonalisable.
  2. Déterminer les valeurs propres possibles de u.
  3. Montrer que E = \ker(u) \oplus \ker(u - \mathrm{Id}_E) \oplus \ker(u + \mathrm{Id}_E).

Exercice 5

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Montrer que A est trigonalisable mais pas diagonalisable.
  2. Déterminer le polynôme minimal de A.
  3. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 6

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) inversible et diagonalisable, avec A = PDP^{-1}.

  1. Montrer que A^{-1} est diagonalisable.
  2. Exprimer A^{-1} en fonction de D.
  3. Si les valeurs propres de A sont \lambda_1, \ldots, \lambda_n, quelles sont celles de A^{-1} ?

Exercice 7

Soit A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A et montrer que A n’est pas diagonalisable sur \mathbb{R}.
  2. Montrer que A est trigonalisable.
  3. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 8

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) nilpotente d’indice k (A^k = 0 et A^{k-1} \neq 0).

  1. Montrer que la seule valeur propre de A est 0.
  2. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si A = 0.
  3. Montrer que \mathrm{tr}(A) = 0 et \det(A) = 0.

Exercice 9

Soit A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A et les valeurs propres.
  2. Déterminer les sous-espaces propres.
  3. Diagonaliser A et calculer A^n.

Exercice 10

Soit A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}). Montrer que A est diagonalisable si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :

  1. A est scalaire (A = \lambda I_2).
  2. \chi_A est scindé à racines simples.

Exercice 11

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} avec a \in \mathbb{R}.

  1. Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle diagonalisable ?
  2. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.
  3. Déterminer le polynôme minimal de A selon les valeurs de a.

Exercice 12

Résoudre la suite récurrente u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n avec u_0 = 1 et u_1 = 3 en diagonalisant la matrice compagnon.

Cours

📝 Chapitre 02 : Réduction des endomorphismes et matrices