Cours – Réduction des endomorphismes et matrices
Chapitre 02
ECS (2e année) — Chapitre 02. Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, polynômes annulateurs.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n \geq 1.
1 Éléments propres
1.1 Valeurs propres et vecteurs propres
Définition 1.1 — (Valeur propre, vecteur propre)
Soit u \in \mathcal{L}(E). Un scalaire \lambda \in \mathbb{K} est une valeur propre de u s’il existe x \in E \setminus \{0\} tel que u(x) = \lambda x. Un tel vecteur x est un vecteur propre associé à \lambda.
Définition 1.2 — (Sous-espace propre)
Pour \lambda \in \mathbb{K}, le sous-espace propre associé à \lambda est : E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda \mathrm{Id}_E)
Définition 1.3 — (Spectre)
Le spectre de u, noté \mathrm{Sp}(u), est l’ensemble des valeurs propres de u. Il est fini et de cardinal au plus n.
Proposition 1.1 — (Indépendance des sous-espaces propres)
Si \lambda_1, \ldots, \lambda_r sont des valeurs propres distinctes de u, alors : E_{\lambda_1} + \cdots + E_{\lambda_r} \text{ est une somme directe}
Proposition 1.2 — (Stabilité)
Un sous-espace vectoriel F de E est stable par u si u(F) \subset F. Les sous-espaces propres sont stables par u.
2 Polynôme caractéristique
Définition 2.1 — (Polynôme caractéristique)
Pour A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) : \chi_A(X) = \det(X I_n - A)
Proposition 2.1 — (Propriétés)
- \chi_A est unitaire de degré n.
- \lambda est valeur propre de A \iff \chi_A(\lambda) = 0.
- Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.
- \chi_A(X) = X^n - \mathrm{tr}(A) X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A).
Proposition 2.2 — (Matrice triangulaire)
Si A est triangulaire avec coefficients diagonaux a_{11}, \ldots, a_{nn}, alors : \chi_A(X) = \prod_{k=1}^n (X - a_{kk})
3 Diagonalisation
3.1 Définition
Définition 3.1 — (Endomorphisme diagonalisable)
u \in \mathcal{L}(E) est diagonalisable s’il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.
Définition 3.2 — (Matrice diagonalisable)
A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est diagonalisable s’il existe P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) et D diagonale telles que A = P D P^{-1}.
3.2 Caractérisations
Théorème 3.1 — (Caractérisation par les sous-espaces propres)
u \in \mathcal{L}(E) est diagonalisable si et seulement si : E = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_r} où \lambda_1, \ldots, \lambda_r sont les valeurs propres distinctes de u.
Théorème 3.2 — (Caractérisation par le polynôme caractéristique)
u est diagonalisable si et seulement si :
- \chi_u est scindé sur \mathbb{K} : \chi_u(X) = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)^{\mu_k}.
- Pour tout k, \dim E_{\lambda_k} = \mu_k.
Proposition 3.1 — (Cas des valeurs propres distinctes)
Si u admet n valeurs propres distinctes, alors u est diagonalisable.
Théorème 3.3 — (Caractérisation par le polynôme minimal)
u est diagonalisable si et seulement si P_u est scindé à racines simples.
3.3 Trigonalisation
Définition 3.3 — (Trigonalisable)
u est trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
Théorème 3.4 — (Caractérisation)
u est trigonalisable si et seulement si \chi_u est scindé sur \mathbb{K}.
Corollaire 3.1
Tout endomorphisme d’un \mathbb{C}-espace vectoriel est trigonalisable.
4 Polynômes annulateurs et applications
Théorème 4.1 — (Cayley-Hamilton)
\chi_u(u) = 0. Donc P_u divise \chi_u.
Proposition 4.1 — (Racines du polynôme minimal)
Les racines de P_u sont exactement les valeurs propres de u.
Exemple 4.1 — (Projecteurs et symétries)
- Si u^2 = u, alors X^2 - X = X(X-1) annule u, donc u est diagonalisable.
- Si u^2 = \mathrm{Id}_E, alors X^2 - 1 = (X-1)(X+1) annule u, donc u est diagonalisable.
5 Exercices
Exercice 5.1
Soit A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
- A est-elle diagonalisable ? Si oui, trouver P et D telles que A = P D P^{-1}.
- En déduire A^n.
Exercice 5.2
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
- Calculer \chi_A.
- A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
- Calculer A^n.
Exercice 5.3
Soit u \in \mathcal{L}(E) avec u^2 = 3u - 2\mathrm{Id}_E. Montrer que u est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres possibles.
Exercice 5.4
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
- Calculer \chi_A.
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
- Diagonaliser A.
Exercice 5.5
Soit A une matrice nilpotente (A^p = 0). Montrer que \chi_A(X) = X^n et que A est diagonalisable si et seulement si A = 0.
Exercice 5.6
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) diagonalisable. Montrer que A^k est diagonalisable pour tout k \in \mathbb{N}.
Exercice 5.7
Résoudre la suite récurrente u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n avec u_0 = 1, u_1 = 2 en diagonalisant la matrice compagnon.
Exercice 5.8
Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) avec AB = BA. Montrer que si \lambda est valeur propre de A, alors E_\lambda(A) est stable par B.