Cours – Algèbre bilinéaire
Chapitre 03
ECS (2e année) — Chapitre 03. Produit scalaire, bases orthonormées, matrices symétriques, théorème spectral.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
Dans tout ce chapitre, E désigne un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension finie n \geq 1.
1 Produit scalaire
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Produit scalaire)
Un produit scalaire sur E est une application \langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R} vérifiant :
- Bilinéarité : \forall x, y, z \in E, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R} : \langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda \langle x, z \rangle + \mu \langle y, z \rangle.
- Symétrie : \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle.
- Définie positive : \langle x, x \rangle \geq 0 et \langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0.
Définition 1.2 — (Espace euclidien)
Un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire est un espace euclidien.
1.2 Norme euclidienne
Définition 1.3 — (Norme associée)
Pour x \in E : \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.
Proposition 1.1 — (Règles de calcul)
- \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2
- \|x - y\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2
- \langle x, y \rangle = \frac{1}{2}(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2) (identité de polarisation)
1.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème 1.1 — (Cauchy-Schwarz)
Pour tous x, y \in E : |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| avec égalité si et seulement si x et y sont liés.
Théorème 1.2 — (Minkowski)
Pour tous x, y \in E : \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|
1.4 Théorème de Pythagore
Théorème 1.3 — (Pythagore)
x \perp y \iff \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2
2 Orthogonalité
Définition 2.1 — (Orthogonalité)
x \perp y \iff \langle x, y \rangle = 0.
Définition 2.2 — (Orthogonal d’une partie)
Pour A \subset E : A^\perp = \{y \in E \mid \forall x \in A, \langle x, y \rangle = 0\}.
Proposition 2.1
- A^\perp est un sous-espace vectoriel.
- E^\perp = \{0\} et \{0\}^\perp = E.
- A^\perp = (\mathrm{Vect}(A))^\perp.
Théorème 2.1 — (Supplémentaire orthogonal)
Pour tout sous-espace vectoriel F de E : E = F \oplus F^\perp
3 Bases orthonormées
Définition 3.1 — (Famille orthogonale, orthonormée)
Une famille (e_i) est orthogonale si \langle e_i, e_j \rangle = 0 pour i \neq j. Elle est orthonormée si de plus \|e_i\| = 1 pour tout i.
Proposition 3.1
Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
3.1 Procédé de Gram-Schmidt
Théorème 3.1 — (Gram-Schmidt)
Toute famille libre (u_1, \ldots, u_n) peut être orthonormalisée en une famille orthonormée (e_1, \ldots, e_n) telle que pour tout k : \mathrm{Vect}(u_1, \ldots, u_k) = \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k)
Corollaire 3.1
Tout espace euclidien admet une base orthonormée.
3.2 Expression dans une base orthonormée
Proposition 3.2
Si (e_1, \ldots, e_n) est une base orthonormée et x = \sum x_i e_i, y = \sum y_i e_i, alors : \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i, \quad \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2
4 Projection orthogonale
Définition 4.1 — (Projection orthogonale)
La projection orthogonale sur F est la projection sur F associée à E = F \oplus F^\perp.
Proposition 4.1 — (Formule)
Si (e_1, \ldots, e_p) est une base orthonormée de F, alors pour tout x \in E : p_F(x) = \sum_{k=1}^p \langle x, e_k \rangle e_k
Théorème 4.1 — (Meilleure approximation)
Pour tout x \in E : \|x - p_F(x)\| = \min_{y \in F} \|x - y\|
5 Matrices symétriques
Définition 5.1 — (Matrice symétrique)
A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est symétrique si A^T = A.
Proposition 5.1 — (Caractérisation matricielle)
Soit u un endomorphisme de E euclidien et \mathcal{B} une base orthonormée. Alors : u \text{ symétrique} \iff \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) \text{ symétrique}
Proposition 5.2 — (Sous-espaces propres orthogonaux)
Si u est symétrique et \lambda \neq \mu deux valeurs propres de u, alors E_\lambda(u) \perp E_\mu(u).
6 Théorème spectral
Théorème 6.1 — (Théorème spectral)
Soit u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E. Alors :
- Toutes les valeurs propres de u sont réelles.
- u est diagonalisable dans une base orthonormée.
Théorème 6.2 — (Version matricielle)
Soit A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}). Il existe P \in O_n(\mathbb{R}) (orthogonale : P^T P = I_n) et D diagonale réelle telles que : A = P D P^T
Proposition 6.1 — (Matrices symétriques positives)
A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) est positive (resp. définie positive) si : \forall x \in \mathbb{R}^n, \quad x^T A x \geq 0 \quad (\text{resp. } > 0 \text{ pour } x \neq 0)
A est symétrique positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont \geq 0 (resp. > 0).
7 Exercices
Exercice 7.1
Montrer que \langle (x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \rangle = \sum x_i y_i définit un produit scalaire sur \mathbb{R}^n.
Exercice 7.2
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue. Montrer que \langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)\, dt définit un produit scalaire sur \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}).
Exercice 7.3
Appliquer Gram-Schmidt à la famille (1, X, X^2) dans \mathbb{R}_2[X] muni de \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\, dt.
Exercice 7.4
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Diagonaliser A orthogonalement.
Exercice 7.5
Soit A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
- Calculer \chi_A.
- Diagonaliser A orthogonalement.
Exercice 7.6
Soit A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}). Montrer que \mathrm{tr}(A^2) \geq 0.
Exercice 7.7
Soit A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) définie positive. Montrer que \mathrm{tr}(A) > 0 et \det(A) > 0.
Exercice 7.8
Soit A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}). Montrer que A est symétrique positive si et seulement si ses valeurs propres sont \geq 0.